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* 에르미트 행렬의 대각선 성분은 항상 [[실수]]이다. | * 에르미트 행렬의 대각선 성분은 항상 [[실수]]이다. | ||
* 에르미트 행렬의 [[고윳값]]은 실수이다. | * 에르미트 행렬의 [[고윳값]]은 실수이다. | ||
{{글 | {{글 숨|제목=Proof|1=에르미트 행렬 <math>A</math>의 고윳값을 <math>\lambda</math>라 하고, <math>\lambda</math>에 연관된 고유벡터 하나를 골라 <math>\mathbf{x}</math>라 하자. 그러면 | ||
: <math>\begin{align} | : <math>\begin{align} | ||
\lambda \mathbf{x}^\dagger \mathbf{x} &= \mathbf{x}^\dagger (\lambda \mathbf{x})\\ | \lambda \mathbf{x}^\dagger \mathbf{x} &= \mathbf{x}^\dagger (\lambda \mathbf{x})\\ | ||
2022년 8월 13일 (토) 11:52 판
정의
정사각행렬 [math]\displaystyle{ A\in M_n(\mathbb{C}) }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ A^\dagger=A }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 에르미트 행렬(Hermitian matrix), 또는 자기수반행렬(self-adjoint matrix)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ A^\dagger }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 켤레전치이다.
즉, 에르미트 행렬은 실수 성분 대칭행렬의 복소수 버전이라고 볼 수 있다.
예시
- [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1-2i\\ 1+2i & 2 \end{bmatrix} }[/math]
성질
- 에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값을 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2 }[/math]라고 하고 [math]\displaystyle{ \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n }[/math]가 각각 [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math]과 [math]\displaystyle{ \lambda_2 }[/math]에 연관된 고유벡터라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{y} }[/math]는 직교한다.
- 모든 에르미트 행렬은 대각화할 수 있다.
- 모든 에르미트 행렬은 정규행렬이다.