소수 (수론)

정의

소수는 1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수를 말한다.

어떤 자연수를 소수인 약수들의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해 라 하며, 자연수의 소인수분해는 유일하다.

정수에서는 0이나 ±1이 아닌 정수 중에서 양의 약수가 1과 자기 자신뿐인 수로 정의한다.

찾는 방법

소수를 찾는 방법으로는 중학교 교과서에서 소개되는 '에라토스테네스의 체'가 유명하다

소수의 일반화

소수의 일반화로 기약수가 있다.

앞서 자연수 영역에서의 소수를 ‘1보다 큰 자연수 중에서 약수가 1과 자신뿐인 수’로 정의하였으나, 사실은 다음 두 정의가 혼용되고 있었다.

• p>1이고 ab=p이면 a=1 또는 b=1.
• p>1이고 p|ab이면 p|a 또는 p|b.

(a|b는 a가 b로 나누어 떨어진다는 뜻.)

이 두 정의는 자연수의 소인수분해를 생각하면 동치임이 명백하다. 그러나 다항식에서 비슷한 역할을 하는 기약다항식 등을 연구하면서, 수학자들은 두 정의가 일반적으로는 동치가 아님을 알게 되었다. 따라서 다음과 같이 구분하게 되었다.

R이 1을 갖는 가환환일 때, p∈R에 대하여

• p가 non-zero, non-unit이고 [a,b∈R에 대해 ab=p이면 a∈R^× 또는 b∈R^×]이면 p는 기약수(irreducible element).
• p가 non-zero, non-unit이고 [a,b∈R에 대해 p|ab이면 p|a 또는 p|b]이면 p는 소수(prime element).

정역(Integral domain)에서는 모든 소수는 기약수이다. 그러나 그 역은 일반적으로는 참이 아니며, 유일 인수분해 정역(Unique factorization domain)에서는 모든 기약수는 소수임을 증명할 수 있다.

소수의 또 다른 일반화로 소아이디얼이 있다.

R이 1을 갖는 가환환일 때, R의 아이디얼(ideal) I에 대하여 I≠R이고 [a,b∈R에 대해 ab∈I이면 a∈I 또는 b∈I]이면 I는 소아이디얼(prime ideal)이라 한다. 약수와 배수 관계가 아이디얼의 포함관계에 대응된다는 점을 생각하면 위 정의가 소수에 관한 앞서의 정의와 상통함을 알 수 있다. 따라서 p≠0일 때 p가 소수인 것과 p가 생성하는 아이디얼 (p)이 소 아이디얼인 것이 동치임은 자명하다.

주의할 점은 R 자신은 소 아이디얼이라고 부르지 않는다는 것이다. 이는 1이 소수가 아닌 것과 마찬가지이다. 즉, 소 아이디얼의 정의에서 I≠R이라는 조건은 p가 non-unit이라는 조건에 대응된다. 그러나 또 주의할 점은 I가 non-zero일 것은 요하지 않으므로, 영 아이디얼 0도 소 아이디얼일 수 있다는 것이다. 따라서 앞서의 명제에서 p≠0이라는 조건을 빼먹으면 곤란하다.

유명한 소수

• 2
• 65537(=2¹⁶+1)

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