실수에서의 소수[원본 편집]
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실수 전체의 집합은 체를 이루고, 따라서 0을 제외한 모든 원소가 unit입니다. 따라서 실수에서는 소수라는 개념 자체가 있을 수 없죠. 주아이디얼 정역인 이유도 아이디얼이 (0)과 (1) 둘뿐이기 때문이니 소아이디얼도 (0)밖에 없습니다. …라고 알고 있는데요, 정확히 무슨 말씀을 하시려는 건지 좀 더 석의해 주시면 안 될까요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 12월 17일 (목) 11:03:13 (KST)
- 정확히 어느 부분을 말씀하시는 건지는 잘 모르겠습니다만, 소수의 정의를 1을 제외한 자연수 약수의 개수를 한 개인 수로 정의하면 실수에서도 소수가 정의됩니다. 어느 정의를 받아들이냐의 문제죠. --Skim (토론) 2015년 12월 17일 (목) 11:16:47 (KST)
- 위의 설명이 살짝 잘못된 것같아 설명을 덧붙이자면, 실수에서의 소수를 정수론에서의 소수와 같다고 생각하면 큰 문제가 없습니다. 설녕 수학적으로 엄밀하게 따지면 실수체에서는 소수가 없다고 말하는 것이 옳다하더라고요. [math]\displaystyle{ p\equiv1\pmod4 }[/math]인 소수이면 [math]\displaystyle{ p=a^2+b^2 }[/math]로 표현이 가능하다는 페르마의 정리를 들어보신적 있으실겁니다. 증명에는 가우스 정수체를 사용하죠. 그런데 가우스 정수체에서는 저 p가 소수가 아닙니다. 그럼 대수학 정리를 쓸 때마다 여기서의 p는 정수에서의 소수 p이다라고 매번 서술할 필요가 있을까요? "일반적인" 소수의 정의가 추상대수학에서의 정의보다 우선시하여 받아들여지기 때문에 굳이 저런 서술이 필요없죠. 본문에서도 "일상에서 쓰이는"이란 말이 있기 때문에 문제가 없다고 생각합니다. 굳이 문제가 된다면 "실수 체계"를 "수체계"로 바꾸면 되는 것이고요. (그런데 그 부분을 지적하신게 맞나요?) --Skim (토론) 2015년 12월 17일 (목) 11:39:59 (KST)
- 아 죄송합니다. 제가 어디 얘기인지를 말씀을 안 드렸네요.
- 4. 소수의 일반화 중의 아래 내용입니다.
- “물론, 우리가 흔히 사용하는 실수 체계에서는 2가 소수이므로 걱정하지 말자.(이는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]이 주 아이디얼 정역이기 때문이다. 좀 더 범위를 좁히면, 실수는 유클리드 정역이다.)” (괄호는 주석으로 달려 있던 내용입니다. 밑줄은 제가 했습니다.)
- 방금 토론 중에 말씀하신 내용은 ‘실수 체계에서는 2가 소수이다’라기보다는 ‘(환마다 소수인 수가 달라질 수 있으므로 소수라고 할 적에는 어떤 환에서의 얘기인지를 명시하여야 확실하겠지만,) 우리가 일상적으로 “소수”라고 할 때에는 정수에서의 소수만을 이야기한다’에 더 가깝지 않을까요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 12월 17일 (목) 11:57:49 (KST)
- 주석은 무슨 생각으로 달았던건지 저도 잘 모르겠네요;; 잘못쓴게 맞습니다. 아마 예시로 든 환이 유일 인수분해 정역이 아니어서 2가 기약수이지만 소수가 아닌 일이 벌어졌다는 것을 설명하기 위해 쓰다가 실수를 한 것 같습니다. 그리고 "일상적인 의미의 소수는 정수에서의 소수를 의미한다" 한 줄 정도 추가하면 의미 전달에 문제가 없을까요? --Skim (토론) 2015년 12월 17일 (목) 12:05:36 (KST)
- 어 표현을 좀 생각해 보다가 좀 걸렸네요.
- ”이는 다른 소수들도 마찬가지라 소수가 소수가 아닌(...) 경우가 존재한다. 이처럼 어떤 수가 소수(혹은 기약수)라고 하려면 어떤 환에서 하는 얘기인지를 언급해 주어야 명확하다. 예를 들어 우리가 ‘2는 짝수인 소수’라고 할 때는 정수환을 염두하고 이야기한 것이다. 그런데 그렇다고 매번 ‘정수환에서의 소수’, ‘정수 중의 소수’라고 하기는 상당히 귀찮다. 따라서 일상적으로 그냥 ‘소수’라 할 때는 정수 중의 소수를 이야기하는 것으로 암묵적으로 합의하고 있다.”
- 이렇게 하면 어떨까요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 12월 17일 (목) 13:07:15 (KST)
- 문장이 딱딱 끊어지는 것 같지만 내용상으로는 괜찮아 보입니다.
- 이처럼 어떤 수가 소수(혹은 기약수)라고 하려면 어떤 환에서 하는 얘기인지를 언급해 주어야 명확하다. 예를 들어 앞서 언급한 ‘2는 소수’라는 사실은 정수환을 염두하고 이야기한 것이다. 그런데 이렇게 의미의 불명확함이 있을 때 마다 ‘정수환에서의 소수’, ‘정수 중의 소수’라고 하기는 상당히 귀찮기 때문에 일상적으로 그냥 ‘소수’라 할 때는 정수 중의 소수를 이야기하는 것으로 암묵적으로 합의하고 있다.
- 문장 구조를 조금 더 자연스럽게 바꿔봤는데 어떤가요? --Skim (토론) 2015년 12월 17일 (목) 13:14:57 (KST)
- 주석은 무슨 생각으로 달았던건지 저도 잘 모르겠네요;; 잘못쓴게 맞습니다. 아마 예시로 든 환이 유일 인수분해 정역이 아니어서 2가 기약수이지만 소수가 아닌 일이 벌어졌다는 것을 설명하기 위해 쓰다가 실수를 한 것 같습니다. 그리고 "일상적인 의미의 소수는 정수에서의 소수를 의미한다" 한 줄 정도 추가하면 의미 전달에 문제가 없을까요? --Skim (토론) 2015년 12월 17일 (목) 12:05:36 (KST)