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== 정의 == | == 정의 == | ||
[[체 (수학)|체]] <math>F</math> 위의 [[벡터공간]] <math>V,W</math>가 주어지고 <math>L</math>이 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 [[ | 선형사상은 벡터공간 사이의 보존사상이다. 즉, F-vector space들의 카테고리 <math>Vec_F</math>의 morphism을 말한다. | ||
구체적으로 정의하자면 다음과 같다. | |||
[[체 (수학)|체]] <math>F</math> 위의 [[벡터공간]] <math>V,W</math>가 주어지고 <math>L</math>이 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 [[함수]]라고 하자. 이때 임의의 <math>c\in F</math>와 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V</math>에 대해 | |||
: <math>L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)</math> | : <math>L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)</math> | ||
: <math>L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1)</math> | : <math>L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1)</math> | ||
이면 <math>L</math>를 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 '''선형변환(linear transformation)'''이라고 한다. | 이면 <math>L</math>를 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 '''선형변환(linear transformation)'''이라고 한다. 만약 <math>V=W</math>이면 '''선형연산자(linear operator)'''라고 한다. | ||
또는 다음과 같이 대안적으로 정의하기도 한다: 임의의 <math>c_1,c_2\in F</math>와 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V</math>에 대해 | |||
: <math>L(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2)=c_1 L(\mathbf{v}_1)+c_2L(\mathbf{v}_2)</math> | |||
<math>L</math>를 <math>V</math>에서 <math>W</math>로의 선형변환이라고 한다. 두 정의는 동치이다. | |||
== 예시 == | == 예시 == | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
이므로 <math>L</math>은 <math>\mathbb{R}^3</math>에서 <math>\mathbb{R}^2</math>로의 선형변환이다. | 이므로 <math>L</math>은 <math>\mathbb{R}^3</math>에서 <math>\mathbb{R}^2</math>로의 선형변환이다. | ||
일반적으로 <math>n \times m</math> 행렬 <math>A</math>에 대해, 함수 <math>L:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</math>를 | |||
: <math>L(\mathbf{x})=A\mathbf{x}</math> | |||
로 정의하면 <math>L</math>은 선형변환이다. 이 사실을 증명하는 것은 행렬의 성질을 이용해 간단히 할 수 있으므로 독자에게 맡긴다. | |||
== 시각화 == | |||
좌표평면의 벡터 <math>\mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{R}^2</math>를 | |||
: <math>\mathbf{u}=\begin{bmatrix} | |||
1\\ | |||
0 | |||
\end{bmatrix},\mathbf{v}=\begin{bmatrix} | |||
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로 정의하고, 집합 <math>S</math>를 | |||
: <math>S=\{a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\in \mathbb{R}^2 : 0\le a \le 1,0\le b\le 1\}</math> | |||
로 정의하자. 선형변환 <math>L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math>를 | |||
: <math>L(\mathbf{x})=A\mathbf{x}</math> | |||
로 정의하자. 아래 표는 <math>L</math>이 주어졌을 때 <math>S</math>의 상(image)을 시각적으로 나타낸 것이다. | |||
{| class="wikitable" | |||
! style="width:33.34%" | 원본 또는 항등변환, <math>A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math> | |||
! style="width:33.33%" | 2배 확대, <math>A=\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}</math> | |||
! style="width:33.33%" | 1/2배로 축소, <math>A=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}</math> | |||
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| [[파일:linearmap original.svg]] | |||
| [[파일:linearmap scaling by 2.svg]] | |||
| [[파일:linearmap scaling by half.svg]] | |||
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! x축 대칭, <math>A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}</math> | |||
! y축 대칭, <math>A=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}</math> | |||
! 시계방향으로 30° 회전, <math>A=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}</math> | |||
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| [[파일:linearmap reflecting by x axis.svg]] | |||
| [[파일:linearmap reflecting by y axis.svg]] | |||
| [[파일:Linearmap rotating by angle neg 30.svg]] | |||
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== 성질 == | == 성질 == | ||
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이므로 원하는 결론을 얻는다. | 이므로 원하는 결론을 얻는다. | ||
== 선형변환의 핵과 | == 선형변환의 핵과 치역 == | ||
체 <math>F</math> 위의 벡터공간 <math>V,W</math>와 선형변환 <math>L:V\to W</math>가 주어졌다고 하자. 이때, [[ | 체 <math>F</math> 위의 벡터공간 <math>V,W</math>와 선형변환 <math>L:V\to W</math>가 주어졌다고 하자. 이때, [[집합]] | ||
: <math>\ker L = \{\mathbf{v}\in V: L(\mathbf{v})=\mathbf{0}\}</math> | : <math>\ker L = \{\mathbf{v}\in V: L(\mathbf{v})=\mathbf{0}_W\}</math> | ||
을 <math>L</math>의 핵(kernel)이라고 하고, 집합 | 을 <math>L</math>의 핵(kernel)이라고 하고, 집합 | ||
: <math>\operatorname{ | : <math>\operatorname{ran}L = \{\mathbf{w}\in W: \mathbf{w}=L(\mathbf{v})\text{ for some }\mathbf{v}\in V\}</math> | ||
을 <math>L</math>의 | 을 <math>L</math>의 치역(range)이라고 한다. | ||
<math>\ker L</math>은 <math>V</math>의 [[부분공간]]이다. <math>\ker L</math>의 임의의 두 원소를 <math>\mathbf{u},\mathbf{v}</math>라고 하면 <math>\ker L</math>의 정의에 의해 <math>L(\mathbf{u})=L(\mathbf{v})=\mathbf{0}</math>이다. 그러면 선형변환의 정의에 의해 <math>L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{0}</math>이므로 <math>\mathbf{u}+\mathbf{v}\in \ker L</math>이다. 또한 임의의 <math>c\in F</math>에 대해 | <math>\ker L</math>은 <math>V</math>의 [[부분공간]]이다. <math>\ker L</math>의 임의의 두 원소를 <math>\mathbf{u},\mathbf{v}</math>라고 하면 <math>\ker L</math>의 정의에 의해 <math>L(\mathbf{u})=L(\mathbf{v})=\mathbf{0}</math>이다. 그러면 선형변환의 정의에 의해 <math>L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{0}</math>이므로 <math>\mathbf{u}+\mathbf{v}\in \ker L</math>이다. 또한 임의의 <math>c\in F</math>에 대해 | ||
: <math>\begin{align} | : <math>\begin{align} | ||
L(c\mathbf{v})&=cL(\mathbf{v})\\ | L(c\mathbf{v})&=cL(\mathbf{v})\\ | ||
&=c\mathbf{0}\\ | &=c\mathbf{0}_W\\ | ||
&=\mathbf{0} | &=\mathbf{0}_W | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
이므로 <math>c\mathbf{v}\in \ker L</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. | 이므로 <math>c\mathbf{v}\in \ker L</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. | ||
<math>\operatorname{ | <math>\operatorname{ran}L</math>는 <math>W</math>의 부분공간이다. <math>\operatorname{ran} L</math>의 임의의 두 원소를 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2</math>라고 하면 <math>\operatorname{ran}L</math>의 정의에 의해 <math>\mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}_1),\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}_2)</math>인 <math>\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in V</math>가 존재한다. 그러면 | ||
: <math>\begin{align} | : <math>\begin{align} | ||
\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2&=L(\mathbf{u}_1)+L(\mathbf{u}_2)\\ | \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2&=L(\mathbf{u}_1)+L(\mathbf{u}_2)\\ | ||
&=L(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2) | &=L(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2) | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
이고 <math>\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2\in V</math>이므로 <math>\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}^*)</math>인 <math>\mathbf{u}^*\in V</math>가 존재하고, 그러므로 <math>\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\in \operatorname{ | 이고 <math>\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2\in V</math>이므로 <math>\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}^*)</math>인 <math>\mathbf{u}^*\in V</math>가 존재하고, 그러므로 <math>\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\in \operatorname{ran} L</math>이다. 또한 임의의 <math>c\in F</math>에 대해 | ||
: <math>\begin{align} | : <math>\begin{align} | ||
c\mathbf{v}_1&=cL(\mathbf{u}_1)\\ | c\mathbf{v}_1&=cL(\mathbf{u}_1)\\ | ||
&=L(c\mathbf{u}_1) | &=L(c\mathbf{u}_1) | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
이고 <math>c\mathbf{u}_1\in V</math>이므로 <math>c\mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}^*)</math>인 <math>\mathbf{u}^*\in V</math>가 존재하고, 그러므로 <math>c\mathbf{v}_1\in \operatorname{ | 이고 <math>c\mathbf{u}_1\in V</math>이므로 <math>c\mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}^*)</math>인 <math>\mathbf{u}^*\in V</math>가 존재하고, 그러므로 <math>c\mathbf{v}_1\in \operatorname{ran} L</math>이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. | ||
<math>\ker L</math>와 <math>\operatorname{ran} L</math> 사이에는 다음 관계식이 성립한다. | |||
: <math>\dim V=\dim \ker L + \dim \operatorname{ran} L</math> | |||
<math>\dim \ker L=k</math>라고 하자. <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots, \mathbf{v}_k\}</math>를 <math>\ker K</math>의 기저라고 하자. <math>\dim V=n</math>이라 하면, <math>\ker K</math>가 <math>V</math>의 부분공간이므로 <math>\mathbf{v}_{k+1},\mathbf{v}_{k+2},\cdots, \mathbf{v}_n\in V</math>를 적당히 골라 <math>\{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k,\mathbf{v}_{k+1},\cdots,\mathbf{v}_n\}</math>이 <math>V</math>의 기저가 되도록 할 수 있다. 이제 <math>\mathbf{w}\in \operatorname{ran}L</math>이라 하면 <math>\operatorname{ran}L</math>의 정의에 의해 | |||
: <math>\mathbf{w}=L(\mathbf{v})</math> | |||
인 <math>\mathbf{v}\in V</math>가 존재한다. 이때 상수 <math>c_1,\cdots,c_n</math>에 대해 | |||
: <math>\mathbf{v}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k \mathbf{v}_k+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+c_n\mathbf{v}_n</math> | |||
이므로 | |||
: <math>\begin{align} | |||
L(\mathbf{v})&=L(c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k \mathbf{v}_k+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+c_n\mathbf{v}_n)\\ | |||
&=c_1L(\mathbf{v}_1)+\cdots++c_k L(\mathbf{v}_k)+c_{k+1}L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+c_nL(\mathbf{v}_n)\\ | |||
&=\mathbf{0}_W+\cdots+\mathbf{0}_W+c_{k+1}L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+c_nL(\mathbf{v}_n)\\ | |||
&=c_{k+1}L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+c_nL(\mathbf{v}_n) | |||
\end{align}</math> | |||
이다. 그러므로 <math>\{L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)\}</math>은 <math>\operatorname{ran}L</math>을 생성한다. 이제 <math>L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)</math>가 선형독립임을 보이자. 방정식 | |||
: <math>x_{k+1} L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+x_n L(\mathbf{v}_n)=\mathbf{0}_W</math> | |||
에 대해 | |||
: <math>L(x_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+x_n\mathbf{v}_n)=\mathbf{0}_W</math> | |||
이므로 | |||
: <math>x_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+x_n\mathbf{v}_n\in \ker L</math> | |||
이다. 따라서 상수 <math>d_1,\cdots,d_k</math>에 대해 | |||
: <math>x_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+x_n\mathbf{v}_n=d_1 \mathbf{v}_1+\cdots+d_k \mathbf{v}_k</math> | |||
이며 <math>\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n</math>은 선형독립이므로 <math>x_{k+1}=\cdots=x_n=d_1=\cdots=d_k=0</math>이어야 한다. 따라서 <math>L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)</math>는 선형독립이며 <math>\{L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)\}</math>은 <math>\operatorname{ran}L</math>의 기저이고, <math>\dim\operatorname{ran}L=n-k</math>임을 안다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. | |||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == |
2022년 3월 6일 (일) 01:07 기준 최신판
영어: linear transformation
정의[편집 | 원본 편집]
선형사상은 벡터공간 사이의 보존사상이다. 즉, F-vector space들의 카테고리 [math]\displaystyle{ Vec_F }[/math]의 morphism을 말한다.
구체적으로 정의하자면 다음과 같다.
체 [math]\displaystyle{ F }[/math] 위의 벡터공간 [math]\displaystyle{ V,W }[/math]가 주어지고 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 [math]\displaystyle{ V }[/math]에서 [math]\displaystyle{ W }[/math]로의 함수라고 하자. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1) }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ L }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]에서 [math]\displaystyle{ W }[/math]로의 선형변환(linear transformation)이라고 한다. 만약 [math]\displaystyle{ V=W }[/math]이면 선형연산자(linear operator)라고 한다.
또는 다음과 같이 대안적으로 정의하기도 한다: 임의의 [math]\displaystyle{ c_1,c_2\in F }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ L(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2)=c_1 L(\mathbf{v}_1)+c_2L(\mathbf{v}_2) }[/math]
[math]\displaystyle{ L }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]에서 [math]\displaystyle{ W }[/math]로의 선형변환이라고 한다. 두 정의는 동치이다.
예시[편집 | 원본 편집]
함수 [math]\displaystyle{ L:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 }[/math]가 다음과 같이 정의되었다고 하자.
- [math]\displaystyle{ L\left(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y\\ y+z \end{bmatrix} }[/math]
그러면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} L\left(\begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{bmatrix}\right)&=L\left(\begin{bmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2 \end{bmatrix}\right)\\ &=\begin{bmatrix} (x_1+x_2)+(y_1+y_2)\\ (y_1+y_2)+(z_1+z_2) \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} x_1+y_1\\ y_1+z_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x_2+y_2\\ y_2+z_2 \end{bmatrix}\\ &=L\left(\begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{bmatrix}\right)+L\left(\begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{bmatrix}\right) \end{align} }[/math]
이고
- [math]\displaystyle{ \begin{align} L\left(c\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\right)&=L\left(\begin{bmatrix} cx\\ cy\\ cz \end{bmatrix}\right)\\ &=\begin{bmatrix} cx+cy\\ cy+cz \end{bmatrix}\\ &=c\begin{bmatrix} x+y\\ y+z \end{bmatrix}\\ &=cL\left(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\right) \end{align} }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ L }[/math]은 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]로의 선형변환이다.
일반적으로 [math]\displaystyle{ n \times m }[/math] 행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ L:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n }[/math]를
- [math]\displaystyle{ L(\mathbf{x})=A\mathbf{x} }[/math]
로 정의하면 [math]\displaystyle{ L }[/math]은 선형변환이다. 이 사실을 증명하는 것은 행렬의 성질을 이용해 간단히 할 수 있으므로 독자에게 맡긴다.
시각화[편집 | 원본 편집]
좌표평면의 벡터 [math]\displaystyle{ \mathbf{u},\mathbf{v}\in \mathbb{R}^2 }[/math]를
- [math]\displaystyle{ \mathbf{u}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix},\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} }[/math]
로 정의하고, 집합 [math]\displaystyle{ S }[/math]를
- [math]\displaystyle{ S=\{a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\in \mathbb{R}^2 : 0\le a \le 1,0\le b\le 1\} }[/math]
로 정의하자. 선형변환 [math]\displaystyle{ L:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 }[/math]를
- [math]\displaystyle{ L(\mathbf{x})=A\mathbf{x} }[/math]
로 정의하자. 아래 표는 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 주어졌을 때 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 상(image)을 시각적으로 나타낸 것이다.
성질[편집 | 원본 편집]
선형변환 [math]\displaystyle{ L:V\to W }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{u},\mathbf{v}\in V }[/math]에 대해,
- [math]\displaystyle{ L(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_W }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathbf{0}_V=\mathbf{0}_V+\mathbf{0}_V }[/math]이므로 선형변환의 정의에 의해
- [math]\displaystyle{ \begin{align} L(\mathbf{0}_V)&=L(\mathbf{0}_V+\mathbf{0}_V)\\ &=L(\mathbf{0}_V)+L(\mathbf{0}_V) \end{align} }[/math]
이다. 양변의 [math]\displaystyle{ L(\mathbf{0}_V) }[/math]를 소거하면 원하는 결론을 얻는다.
- [math]\displaystyle{ L(-\mathbf{v})=-L(\mathbf{v}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align} L(-\mathbf{v})&=L((-1_F)\mathbf{v})\\ &=(-1_F)L(\mathbf{v})\\ &=-L(\mathbf{v}) \end{align} }[/math]
이므로 원하는 결론을 얻는다.
- [math]\displaystyle{ L(\mathbf{u}-\mathbf{v})=L(\mathbf{u})-L(\mathbf{v}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align} L(\mathbf{u}-\mathbf{v})&=L(\mathbf{u}+(-\mathbf{v}))\\ &=L(\mathbf{u})+L(-\mathbf{v})\\ &=L(\mathbf{u})-L(\mathbf{v}) \end{align} }[/math]
이므로 원하는 결론을 얻는다.
선형변환의 핵과 치역[편집 | 원본 편집]
체 [math]\displaystyle{ F }[/math] 위의 벡터공간 [math]\displaystyle{ V,W }[/math]와 선형변환 [math]\displaystyle{ L:V\to W }[/math]가 주어졌다고 하자. 이때, 집합
- [math]\displaystyle{ \ker L = \{\mathbf{v}\in V: L(\mathbf{v})=\mathbf{0}_W\} }[/math]
을 [math]\displaystyle{ L }[/math]의 핵(kernel)이라고 하고, 집합
- [math]\displaystyle{ \operatorname{ran}L = \{\mathbf{w}\in W: \mathbf{w}=L(\mathbf{v})\text{ for some }\mathbf{v}\in V\} }[/math]
을 [math]\displaystyle{ L }[/math]의 치역(range)이라고 한다.
[math]\displaystyle{ \ker L }[/math]은 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분공간이다. [math]\displaystyle{ \ker L }[/math]의 임의의 두 원소를 [math]\displaystyle{ \mathbf{u},\mathbf{v} }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ \ker L }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ L(\mathbf{u})=L(\mathbf{v})=\mathbf{0} }[/math]이다. 그러면 선형변환의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{0} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}+\mathbf{v}\in \ker L }[/math]이다. 또한 임의의 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ \begin{align} L(c\mathbf{v})&=cL(\mathbf{v})\\ &=c\mathbf{0}_W\\ &=\mathbf{0}_W \end{align} }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ c\mathbf{v}\in \ker L }[/math]이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
[math]\displaystyle{ \operatorname{ran}L }[/math]는 [math]\displaystyle{ W }[/math]의 부분공간이다. [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} L }[/math]의 임의의 두 원소를 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran}L }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}_1),\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}_2) }[/math]인 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in V }[/math]가 존재한다. 그러면
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2&=L(\mathbf{u}_1)+L(\mathbf{u}_2)\\ &=L(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2) \end{align} }[/math]
이고 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2\in V }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}^*) }[/math]인 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}^*\in V }[/math]가 존재하고, 그러므로 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\in \operatorname{ran} L }[/math]이다. 또한 임의의 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ \begin{align} c\mathbf{v}_1&=cL(\mathbf{u}_1)\\ &=L(c\mathbf{u}_1) \end{align} }[/math]
이고 [math]\displaystyle{ c\mathbf{u}_1\in V }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ c\mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}^*) }[/math]인 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}^*\in V }[/math]가 존재하고, 그러므로 [math]\displaystyle{ c\mathbf{v}_1\in \operatorname{ran} L }[/math]이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
[math]\displaystyle{ \ker L }[/math]와 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} L }[/math] 사이에는 다음 관계식이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ \dim V=\dim \ker L + \dim \operatorname{ran} L }[/math]
[math]\displaystyle{ \dim \ker L=k }[/math]라고 하자. [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots, \mathbf{v}_k\} }[/math]를 [math]\displaystyle{ \ker K }[/math]의 기저라고 하자. [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math]이라 하면, [math]\displaystyle{ \ker K }[/math]가 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분공간이므로 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_{k+1},\mathbf{v}_{k+2},\cdots, \mathbf{v}_n\in V }[/math]를 적당히 골라 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_k,\mathbf{v}_{k+1},\cdots,\mathbf{v}_n\} }[/math]이 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저가 되도록 할 수 있다. 이제 [math]\displaystyle{ \mathbf{w}\in \operatorname{ran}L }[/math]이라 하면 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran}L }[/math]의 정의에 의해
- [math]\displaystyle{ \mathbf{w}=L(\mathbf{v}) }[/math]
인 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]가 존재한다. 이때 상수 [math]\displaystyle{ c_1,\cdots,c_n }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ \mathbf{v}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k \mathbf{v}_k+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+c_n\mathbf{v}_n }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ \begin{align} L(\mathbf{v})&=L(c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k \mathbf{v}_k+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+c_n\mathbf{v}_n)\\ &=c_1L(\mathbf{v}_1)+\cdots++c_k L(\mathbf{v}_k)+c_{k+1}L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+c_nL(\mathbf{v}_n)\\ &=\mathbf{0}_W+\cdots+\mathbf{0}_W+c_{k+1}L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+c_nL(\mathbf{v}_n)\\ &=c_{k+1}L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+c_nL(\mathbf{v}_n) \end{align} }[/math]
이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ \{L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)\} }[/math]은 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran}L }[/math]을 생성한다. 이제 [math]\displaystyle{ L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n) }[/math]가 선형독립임을 보이자. 방정식
- [math]\displaystyle{ x_{k+1} L(\mathbf{v}_{k+1})+\cdots+x_n L(\mathbf{v}_n)=\mathbf{0}_W }[/math]
에 대해
- [math]\displaystyle{ L(x_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+x_n\mathbf{v}_n)=\mathbf{0}_W }[/math]
이므로
- [math]\displaystyle{ x_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+x_n\mathbf{v}_n\in \ker L }[/math]
이다. 따라서 상수 [math]\displaystyle{ d_1,\cdots,d_k }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ x_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}+\cdots+x_n\mathbf{v}_n=d_1 \mathbf{v}_1+\cdots+d_k \mathbf{v}_k }[/math]
이며 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n }[/math]은 선형독립이므로 [math]\displaystyle{ x_{k+1}=\cdots=x_n=d_1=\cdots=d_k=0 }[/math]이어야 한다. 따라서 [math]\displaystyle{ L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n) }[/math]는 선형독립이며 [math]\displaystyle{ \{L(\mathbf{v}_{k+1}),\cdots,L(\mathbf{v}_n)\} }[/math]은 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran}L }[/math]의 기저이고, [math]\displaystyle{ \dim\operatorname{ran}L=n-k }[/math]임을 안다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.