선형대수학

Linear Algebra 線型代數學

대체 뭐하는 거냐 이건?

선형대수학은 벡터공간과 선형사상을 다루는 대수학의 분야이다. 수학내부 뿐만이 아니라 공학과 물리학에서도 다방면으로 활용되고, 따라서 현대문명의 많은 것을 가능하게 한 똘똘한 학문이다. 시작은 겉보기엔 어거지로 숫자를 우겨놓은 모임인 행렬이었는데, 이거 유래는 옛날 중국에서까지 찾을 수 있다. 물론 그때 당시에 뭔 아스트랄한 수학적 연구를 한 건 아니고 그냥 일차방정식을 풀기 위한 용도였다고. 이것을 카르다노가 유럽에 들여온 이후 유럽에서도 대충 유사한 개념을 써먹던 중 아서 케일리라는 양반이 행렬의 수학적 성질을 포착한 후 엄청나게 파고들게 된 후 선형대수학이 퍼지기 시작했다.

즉 시작은 그냥 선형일차방정식을 능률적으로 풀기 위한 '행렬'이라는 개념으로부터 시작된 것으로, 이거 해결하려 만들어진 곱하기 개념에 대해서 깊이 파고들어 보면 상당히 흥미로운 성질을 이끌어 낼 수 있다는 것이 선형대수학의 가장 큰 특징이다.

뭐가 그렇게 중요한 걸까?

일단, 선형대수는 ‘선형변환’이라는 개념을 다루는 학문이며, 이 물건은 매우 다양한 현상을 표현하는 데 사용될 수 있다.

• 3차원에 있는 2차원 그림을 인간이 보는 시각으로 사영하는 행위는 일종의 선형변환이다. 따라서 선형대수는 컴퓨터 그래픽에 널리 사용된다.

• 넷플릭스와 같은 영화 스트리밍 사이트에서 영화 추천 서비스를 할 때 선형대수를 적극 활용한다. 예를 들어, 사용자가 ‘다크 나이트’에 4.5점을, ‘과속스캔들’에 1.0점을 줬다면 ‘트랜스포머’에는 몇 점을 줄까? 라는 질문에 대해 컴퓨터가 자동으로 대답하게 함으로써 적절한 추천목록을 만드는 것이다. 이를 위하여 큰 N에 대해 N차원 선형대수를 이용하여 특정 값을 최대화·최소화하는 접근방식이 쓰이곤 한다.

• 컴퓨터가 사물을 인지하게 하는 인공지능의 일종인 컴퓨터 비전에서, 카메라가 받는 영상의 ‘모서리’를 판별할 때 선형대수를 사용한다. 이미지를 픽셀단위로 본 후 x, y 방향의 명도 변화를 2차원 행렬에 담고 이 행렬을 대각화함으로써 명도변화가 큰 방향을 감지할 수 있는 것이다. 즉 ‘다양한 정보를 행렬에 담을 수 있다’는 것과 ‘회전 역시 선형변환이므로 선형변환은 다양한 현상을 모델링할 수 있다’는 것이 키 포인트인 것이다. 소위 ‘해리스의 모서리 탐지기’에 대해 찾아보면 더 자세한 정보를 얻을 수 있다.

• 현실 세계를 아주 정확하게 모델링하는 양자역학에서는 ‘무한차원 선형대수’를 사용한다. 양자역학에서, 모든 것은 파동함수로 나타낼 수 있고, 각 물리량에는 대응되는 작용소(operator)가 있어서 이 작용소가 파동함수에 작용한다. 이 작용소는 에르미트 작용소이므로 직교기저로써 대각화가 가능하다. 따라서 파동함수를 이 기저함수들의 선형결합으로 나타내어 원하는 물리량의 관측값을 쉽게 설명할 수 있다.

• 수학에서... 너무 많이 쓰인다.
  • 군을 더 이해하기 쉬운 대상으로 공부하기 위하여 동형(isomorphic)인 행렬군을 생각하자는 것이 소위 표현론이다.
  • 선형대수에서 다루는 대상인 벡터공간의 일반화가 가군(module)인데, 가군의 개념은 위상수학(호몰로지 군들은 가군들이다), 대수기하(O_X 가군의 고려 추가바람), 정수론(새로운 수체계를 만들기 위해 fractional ideal을 만드는데, fractional ideal은 유한생성 가군이다), 등등 너무 많은 곳에서 등장한다.

이 이외에도 정말 다양하게 쓰인다. 추가바람

선형대수학의 주제

• 벡터공간(Vector space)
  • 부분공간(Subspace)
  • 벡터공간의 기저(basis)
  • 벡터공간의 차원(dimension)
  • 몫공간(Quotient space)
• 행렬(matrix)
  • 가우스 소거법(Gaussian elimination)
  • 행 간소 사다리꼴(Row‐reduced echelon form)
  • 계수(階數) 정리(Rank theorem)
• 선형사상(Linear transformation)
  • 차원 정리(Dimension theorem)
  • Linear extension theorem
  • 선형대수학의 기본정리
  • 행렬과 선형사상의 행렬식(determinant)
• 고윳값(Eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)
  • 행렬의 대각화(diagonalization)
  • 특성다항식(characteristic polynomial)과 극소다항식(minimal polynomial)
  • 케일리–해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)
  • 고유공간 분해(Eigenspace decomposition)
• 내적공간(Inner product space)
  • 직교군(Orthogonal group)과 유니터리군(unitary group)
  • 그램–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)
• 쌍선형 형식(Bilinear form)과 에르미트 형식(Hermitian form)
  • 쌍대공간(Dual space)과 쌍대성(duality)
• 스펙트럼 정리(Spectral theorem)

학부 선형대수학

• 산업공학이나 경영학에서 OR(경영과학)을 하는데 이 선형대수가 기초가 된다. 최적값을 찾아내는 방법인데, 사실 3×3행렬 같은 경우에는 선형대수를 몰라도 그냥 고등학교 때 배운 가우스 소거법 같은 것을 써도 되지만, 미지수가 5개를 넘어가기 시작하면서는 정신이 아득해지기 시작한다. 다만 기하학적으로 보면 모든 선이 다 만날 필요는 없고 각 선들이 교차하는 꼭지점의 위치만 확인하면 되기는 하는데 이쯤되면 이미 정줄을 놓는 상황이 되게 된다. 물론 엑셀의 해찾기 기능 같은 것으로 순식간에 답을 구할 수는 있겠지만, 문제는 시험문제는 멀쩡한 컴퓨터를 냅두고10~15개쯤 되는 미지수를 던져놓고 사람의 손으로 답을 구하라는 문제가 나오기 때문에 결국 토가 나오는 경우가 많다.