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결합기하학

결합기하학(incidence geometry)은 결합구조를 연구하는 학문이다. 해석기하학과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.

결합구조

[math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math], [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]([math]\displaystyle{ \mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset }[/math]) 와 [math]\displaystyle{ \mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L }[/math]가 집합일 때, [math]\displaystyle{ \sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I) }[/math]을 결합구조(incidence structure), 또는 기하학적 구조(geometric structure)라 한다. 만약 [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]이 유한이면, [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]를 유한결합구조라 한다. 여기서 [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]는 점들의 집합이고, [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]은 선들의 집합이다. [math]\displaystyle{ \mathscr P }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathscr L }[/math]의 교집합이 공이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.

주어진 점 [math]\displaystyle{ p, q\in\mathscr P }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I }[/math]이면 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]는 jointed라 하고, 만약 위를 만족하는 선 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 단 하나 존재하면 [math]\displaystyle{ L }[/math]은 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]에 의하여 결정된다고 한다(선 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 [math]\displaystyle{ q }[/math]의 join이라 하고 [math]\displaystyle{ pq:=L }[/math]로 쓴다.) 비슷하게, 주어진 [math]\displaystyle{ L, M\in \mathscr L }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I }[/math]이면, [math]\displaystyle{ L }[/math]과 [math]\displaystyle{ M }[/math]이 만난다고 하며, 그러한 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 유일하면 [math]\displaystyle{ p }[/math]는 [math]\displaystyle{ L }[/math]과 [math]\displaystyle{ M }[/math]에 의하여 결정된다고 한다(점 [math]\displaystyle{ p:=L\cap M }[/math]을 [math]\displaystyle{ L }[/math]과 [math]\displaystyle{ M }[/math]의 교점이라고 한다.) 또한 [math]\displaystyle{ [p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} [(p, L) \in \mathscr I] }[/math]로 쓰기도 하며, 기하학적 구조를 표기할 때 [math]\displaystyle{ \mathscr I }[/math]를 생략하기도 한다.

이하 대문자는 선으로, 소문자는 점으로 나타낸다.

평면

다음의 공리들을 만족하는 결합구조 [math]\displaystyle{ \pi=(\mathscr P , \mathscr L) }[/math]를 평면(planes)이라 정의한다:

• 서로 다른 [math]\displaystyle{ p, q }[/math]에 대하여 두 점을 지나는 선 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 유일하게 존재한다.
• [math]\displaystyle{ L }[/math] 위에 서로 다른 두 개 이상의 점이 존재한다.

형식적인 표현 [math]\displaystyle{ \forall p, q \in\mathscr P(p \ne q) \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L, }[/math] ([math]\displaystyle{ L=pq }[/math]로 표기한다.) [math]\displaystyle{ \forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L. }[/math]

아핀 평면

다음의 공리들을 만족하는 결합구조를 아핀 평면(affine plane)이라 정의한다:

• [math]\displaystyle{ L }[/math]이 존재한다.
• [math]\displaystyle{ L }[/math] 위에 서로 다른 [math]\displaystyle{ p, q }[/math]가 존재한다.
• [math]\displaystyle{ L }[/math] 위에 있지 않은 [math]\displaystyle{ r }[/math]가 존재한다.
• 서로 다른 [math]\displaystyle{ p, q }[/math]에 대하여 두 점을 지나는 선 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 유일하게 존재한다.
• [math]\displaystyle{ L }[/math] 위에 있지 않은 [math]\displaystyle{ r }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ r }[/math]을 지나고 [math]\displaystyle{ L }[/math]에 평행한 선 [math]\displaystyle{ M }[/math]이 존재한다.

형식적인 표현 [math]\displaystyle{ \exists L \in \mathscr L, }[/math] [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L, }[/math] [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L, }[/math] [math]\displaystyle{ \forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L\in \mathscr L, }[/math] ([math]\displaystyle{ L=pq }[/math]로 표기한다.) [math]\displaystyle{ \forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \parallel M. }[/math] ([math]\displaystyle{ L \parallel M }[/math]는 [math]\displaystyle{ \not \exists L \cap M }[/math]를 뜻한다.)

물론, 모든 아핀 평면은 평면이다.

실-아핀 평면

다음의 공리들을 만족하는 결합구조 [math]\displaystyle{ \alpha_\mathbb R }[/math]를 실-아핀 평면이라 한다:

• [math]\displaystyle{ \mathscr P \subseteq \mathbb R^2, }[/math]
• [math]\displaystyle{ L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \}, }[/math]
• [math]\displaystyle{ (x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0. }[/math]

물론, 모든 실-아핀 평면은 아핀 평면이다. 정의를 보면 알 수 있듯이, 실-아핀 평면은 좌표평면, 즉 표준적인 기저가 주어진 2 차원 유클리드 공간의 직선과 그 위의 점으로 만들어지는 결합구조이다.

브룬 정리

브룬 정리(Brun's theorem), 또는 브룬 추측(Brun's conjecture)은 쌍둥이 소수의 역수의 합들을 모두 더한 것이 수렴한다는 정리이다. 이 수렴값은 브룬 상수(Brun's constant)로 불리우며 보통 [math]\displaystyle{ B_2 }[/math]로 표기한다.

진술

[math]\displaystyle{ p_1, p_2, \cdots }[/math]를 쌍둥이 소수 중 작은 수라 하자. 즉 [math]\displaystyle{ p_i\in\mathbb P \wedge (p_i+2)\in\mathbb P }[/math]를 만족한다고 하자. 그렇다면 다음 급수가 수렴한다:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_i + 2}\right) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) +\cdots \lt \infty }[/math]

증명

이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P) }[/math]로 정의한다.

Lemma. [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) = O\left(\frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\right) }[/math] 증명들

이 Lemma를 이용하면, 쉽게 Brun의 정리를 증명할 수 있다. [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) = O\left(\frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\right) \lt \frac{x}{(\log x)^{3/2}} }[/math] for all [math]\displaystyle{ x\ge 2 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n = \pi_2(p_n) \lt \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}} }[/math] for [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \frac 1 {p_n} \lt \frac 1 {n(\log n)^{3/2}} }[/math]이고,

\sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) < \frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n} < \frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}<\infty</math>

으로 증명이 완료된다.