벡터

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Vector.

수학에서의 벡터

벡터공간의 원소를 벡터라고 한다.

이것이 정식 정의이고, 여기서 더할 말도 뺄 말도 없다. 벡터에 관한 공부는 벡터공간에 관한 공부로서 하게 된다. 자세한 내용은 벡터공간 참조.

그런데 고등학교에서는 이와 다른 정의를 먼저 가르치고, 그 정의는 오히려 학생들에게 혼란을 주는 경우가 많아 이에 대해 부연을 해 본다.

고등학교에서의 벡터의 정의

고등학교에서 벡터의 정의가 나오는 부분을 보면 위에서와 같이 '크기와 방향을 나타내는 양을 벡터라고한다' 라고 명시되어 있다.그리고 많은 학생또한 그렇게 알고 있다. 하지만 잘 생각해보자. 이게 정말 수학적 정의 인가? 그러면 크기라는 것은 무엇이고 방향이란건 어떻게 정의할 것인가? 이러한 용어들이 먼저 잘 정의되어 있지 않으면 수학적으로 잘 정의된 용어라고 볼 수 없다. 따라서 '크기와 방향을 나타내는 양'은 수학적 정의가 아니라 수학적 정의 전 단계의 직관으로서만 받아들여야 한다.

이미지적으로 크기와 방향을 나타낼수 있는 것은 길이를 가지는 화살표이다. 이를 수학적객체들로 대응 시키기위해서 좌표평면위의 순서쌍으로 나타나는 점 [math]\displaystyle{ A=(a,b) }[/math]에서 점[math]\displaystyle{ B=(c,d) }[/math]쪽을 가르키며 이 두 점 사이의 길이를 가지는 화살표와의 대응으로서 [math]\displaystyle{ A=(a,b) }[/math]와 [math]\displaystyle{ B=(c,d) }[/math]의 순서쌍(즉 순서쌍의 순서쌍)[math]\displaystyle{ (A,B)=((a,b),(c,d)) }[/math]를 생각할 수 있다. 하지만 이러한 단순대응은 '화살표라는 것은 위치에 상관없다'라는 중요한 성질을 간과하게 된다. 즉 같은 화살표를 여러 [math]\displaystyle{ (A,B) }[/math]에 대응시킬수 있으며 이들은 수학적으로 다른 존재가 되는 것이다.

따라서 이 문제를 해결하기위해 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{AB} }[/math]의 정의를 다음과 같이 생각할수 있다.

[math]\displaystyle{ A=(a,b), B=(c,d) }[/math]라고 할 때 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{AB} }[/math]란 [math]\displaystyle{ g-e=c-a,h-f=d-b }[/math]를 만족하는 모든[math]\displaystyle{ c,f,g,h }[/math]에 대한 두 점의 순서쌍 [math]\displaystyle{ ((c,f),(g,h)) }[/math]들의 집합이다.

즉 화살표를 해당하는 모든 것들의 모임에 대응시켜 정의한다.

이렇게 정의한 두 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{AB} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \vec{CD} }[/math]에 대해 생각해 볼 때, [math]\displaystyle{ \vec{CD} }[/math]는 어떠한 [math]\displaystyle{ E }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \vec{BE} }[/math]로서도 표현할 수 있다.(이미지 적으로는 화살표를 이동한것이다). 그리고 이 두벡터의 덧셈을 [math]\displaystyle{ \vec{AB}+\vec{CD}=\vec{AB}+\vec{BE}=\vec{AE} }[/math] 라고 정의할 수 있다.

단 여기서 그냥 넘어가지 말아야 할 것은 이것이 잘 정의되는가하는 것이다. 우리가 이 덧셈을 정의할 때 앞에 [math]\displaystyle{ \vec{AB} }[/math]에 대응해서[math]\displaystyle{ \vec{CD} }[/math]의 원소중 하나[math]\displaystyle{ (B,E) }[/math]를 임의로 선택해서 그것을[math]\displaystyle{ \vec{CD} }[/math]의 이름으로 삼아([math]\displaystyle{ \vec{CD}=\vec{BE} }[/math]) 덧셈을 정의했다. 이럴때는 그러한 선택에 관계없이 같은 값(벡터)이 나오는가가 수학적으로 중요하다. 연습문제로 남긴다.스칼라배도 어떻게 잘 정의할 것인지 스스로 생각해보자.

위를 좀더 확장시켜 벡터공간의 원소로서 벡터를 정의할 수 있다.

물리학에서의 벡터

크기와 방향을 동시에 나타내는 물리량을 말한다.

물리학에서의 벡터 개념에 관한 사유

크기와 방향을 모두 가진 양을 벡터라고 부른다고 했다. 하지만 매번 방향을 언급하기는 불편하며, 기준 방향이 주어져 있다고 해도 '크기와 방향'만으로 벡터를 연산하려면 삼각함수의 여러 법칙들을 사용해야 한다. 그렇다면 벡터를 더 편리하게 언급할 방법이 있을지 한 번 알아보자. 어떤 문제를 탐구할 때 답을 쉽게 알 수 없는 경우엔, 그 문제의 가장 간단한 경우에서 시작해서 점점 복잡한 경우로 넘어오는 것이 도움이 된다.

일직선상에서는 원점에서의 방향(왼쪽, 오른쪽)과 거리만 언급해 주면 되니 이 문제를 고민할 필요가 없어 보인다. 그렇다면 일직선만으로 점의 위치를 전부 표시할 수 없는 공간 중 가장 간단한 공간인 평면을 생각해 보도록 한다. 여기서 필자는 여러분들의 직관에 호소하도록 하겠다. 평면 위에 임의의 직선을 그은 뒤 그 직선을 레일 삼아 장난감 기차가 놓여져 있다고 생각해 보자. 이 기차는 절대로 탈선하지 않는다. 이 기차에 벡터의 일종인 힘을 아무 방향에서나 가해 보도록 하자. 어느 방향에서 힘을 가하면 기차가 안 움직일까? 레일에서 직각인 방향에서 힘을 가하면 기차가 움직이지 않을 것이다. 그리고 레일에 평행하지 않은 방향에서 힘을 가하면, 그 힘의 레일에서 평행한 방향의 성분만큼의 크기의 힘을 레일에서 평행한 방향으로 가한 것과 똑같이 기차가 움직일 것이다. 이를 생각해 보면, 이 장난감 기차에 가한 임의의 힘은 레일의 방향으로 작용하는 힘과 레일에 수직한 방향으로 작용하는 힘 두 가지로 분해해서 생각해 볼 수 있을 것 같다.

이를 일반화하면, 임의의 벡터는 일정한 방향으로 향하는 성분과 그 방향에 수직한 방향으로 작용하는 성분으로 분해해서 생각하면 좋다는 생각이 든다. 물론 이는 벡터를 분해하는 방법 중 극히 일부일 뿐이지만, 위의 장난감 기차의 예시를 볼 때, 한 벡터를 임의의 방향과, 그에 수직한 방향으로 분해하는 것이 일반적인 경우에선 가장 직관적임을 알 수 있을 것이다. 그렇다면, 서로 직교하는 두 좌표축을 설정하면 한 평면 안의 모든 점을 손쉽게 표기할 수 있다는 말이 된다. 이 두 좌표축은 첫번째 좌표축의 +방향과 두 번째 좌표축의 +방향이 반시계 방향을 이루도록 배치하는 것이 관례이다.

3차원 공간에서는, 이저느이 두 좌표축 모두에 직교하는 3번째 좌표축을 원점을 관통하도록 설정해 주면 된다. 이 3번째 좌표축은, 첫번째 좌표축의 +방향과 두번째 좌표축의 +방향을 순서대로 지나도록 오른손을 말아쥐었을 때 엄지가 향하는 방향으로 잡는 것이 관례이다.

이렇게 우리는 공간을 '좌표계'로 나타내는 방법을 배웠다. 그리고 이 체계에서는 벡터를 아주 편리하게 나타낼 수 있다. 임의의 점으로 향하는 벡터를 각각의 좌표축에 평행하게 진행하는 성분들로 분해한 뒤, 그 각각의 성분들이 원점에서 어떠한 방향으로 떨어져 있는지만 언급하면 되는 것이다. 1차원 공간상의 벡터는 스칼라와 동치임을 앞에서 언급했으므로 우리는 벡터를 스칼라들의 나열로 나타낼 수 있게 된 것이다.

벡터를 이렇게 표기하고 나면 벡터간의 덧뺄셈 A±B는, A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3)이라고 했을 때 A±B(a1 ± b1, a2 ± b2, a3 ± b3) 이라는 스칼라의 덧뺄셈으로 환원될 수 있다는 것은, 여러분들이 직접 생각해 보면 알 수 있을 것이다.