힘

물리학에서의 개념

일단 상대성 이론까지의 고전물리학에서는 매 순간순간마다의 운동량의 변화량이라고 정의된다. 정확히 말하면 물체의 운동 상태 또는 물체의 모양을 변화시키는 작용이지만, 질점 개념을 도입하면 물체의 모양이 변하는 과정도 그 자리에 있었던 질점이 움직이는 것으로 설명할 수 있다.

힘을 학문적으로 처음 규명한 것이 바로 아이작 뉴턴의 업적으로, 아이작 뉴턴은 본인의 저서 자연 철학의 수학적 원리(a.k.a 프린키피아)에서 본인이 창시한 뉴턴역학에서의 힘의 모습을 다음의 세 가지 법칙으로 정리한다.

• 제1법칙 - 관성의 법칙 : 임의의 물체는, 힘을 받지 않는 한 자신의 운동 상태를 고수한다.
• 제2법칙 - 가속도의 법칙 : 임의의 물체에 힘이 작용할 땐, 그 물체에 작용하는 힘벡터의 크기에 비례하고 자신의 질량의 크기에 반비례하는 만큼의 가속도를 받는다.
• 제3법칙 - 작용반작용의 법칙 : A물체가 B물체에게 힘을 작용하는 모든 상황에서 B물체는 A물체에게 힘의 크기가 같고 방향이 정반대인 힘을 아까의 힘과 동시에 작용한다.

자세한 이야기는 뉴턴의 운동 법칙 문서로.

아리스토텔레스가 투척한 빅똥과 그걸 치우는 과정

아리스토텔레스는 물체의 운동에 대해 '운동의 크기는 그 물체에 작용하는 힘의 크기에 비례한다'라고 기술했는데, 결론부터 이야기하면 아리스토텔레스의 이 이론을 반증하는 과정에서 뉴턴의 물리학이 태동하게 된다.

처음으로 기록에 남은 유효한 반론을 제기한 사람은 갈릴레오 갈릴레이였다. 애석하게도 직관적으로 받아들이기에는 아리스토텔레스의 이론이 더 그럴듯했기 때문에, 갈릴레이가 등장하기 이전까지 2천년 가량의 시간 동안 아리스토텔레스의 이론이 의심을 받지 않았던 것이다. 아래에는 갈릴레이가 아리스토텔레스의 이론을 반론할 때 썼던 논리를 서술해 보도록 하겠다.

• 아리스토텔레스의 이론에 따르면, 지표에서의 운동에서 무거운 물체는 빨리 떨어지고 가벼운 물체는 늦게 떨어진다. 얼핏 볼 때 이 명제는 타당해 보이지만, 다음과 같은 상황에서는 모순이 발생하게 된다. 2kg짜리 물체와 1kg짜리 물체, 이 두 물체를 묶어서 같이 떨어뜨리는 상황을 상상해 보자.
  1. 한편으로 생각해 보면 두 물체를 묶어 두면 총질량은 3kg이 되므로 두 물체를 묶어서 떨어뜨릴 땐 각각의 물체를 따로 떨어뜨리는 것보다 더 빨리 떨어져야 한다.
  2. 또 한편, 두 물체는 묶여 있기 때문에 서로의 운동을 방해하게 된다. ('물체의 운동을 방해한다'는 말의 의미는 논지를 전개시켜 가면서 정확히 정의하도록 한다. 일단은 직관적인 의미로 쓰도록 한다) 따라서 1kg의 물체가 더 느리게 떨어지는 것을 2kg의 물체가 더 빨리 떨어지도록 만들고, 2kg의 물체가 더 빠르게 떨어지는 것을 1kg의 물체가 더 느리게 떨어지도록 만들게 되므로, 두 물체를 묶어서 떨어뜨리면 각각의 물체가 따로 떨어지는 경우의 중간의 속도로 떨어져야 한다.
• 하나의 상황에서 두 가지 결론이 아무런 모순 없이 도출된 것이다. 하나의 동일한 사건에서 두 가지 상반되는 결과가 도출된다는 것은 우리의 직관에 명백히 위배되는 내용이므로, 우리는 이를 통해 아리스토텔레스의 이론이 틀렸음을 알 수 있다. 이후 갈릴레이는 비탈면에서 질량이 다른 공을 각각 굴리는 실험을 통해 모든 물체는 같은 시간에 같은 거리만큼을 떨어진다는 것을 증명한다.
• 아리스토텔레스의 이론에 따르면 물체의 운동의 크기는 물체가 받는 힘의 크기에 비례한다. 갈릴레이는 이 이론 역시 부정한다.
  1. 아무런 저항 요소가 없는 레일에서 공이 굴러가는 모습을 상상해 보자. 이 레일이 무한히 아래로 내려간다면 공은 무한히 가속된다.
  2. 그리고 이 레일이 내려가다가 어느 지점에서 다시 올라간다면, 공은 원래의 높이에 도달할 때까지 굴러올라갈 것이다. 그리고 그 '끝까지 올라간 지점'에서 공은 다시 굴러내려올 것이고, 여기서 굴러올라온 구슬은 아까와 마찬가지로 원래의 높이에 도달할 때까지 반대쪽으로 다시 굴러올라갈 것이다. 특별한 방해 요소가 없는 한 이 과정은 무한히 반복된다.
  3. 그런데, 이 레일이 어느 시점에서 정확히 수평이 된다면 구슬은 일정한 속도를 유지하며 무한히 굴러갈 것이라고 예측할 수 있다. 이것은, 물체가 자신의 운동 상태를 그대로 유지하는 데는 그 물체의 운동의 크기에 관계없이 물체엔 아무런 힘도 필요하지 않다는 이야기로 해석할 수도 있다. 갈릴레이는 추가적인 실험을 통해 물체에 작용하는 힘은 그 물체의 운동 상태의 변화량에 비례한다는 것을 깨닫게 된다.

그렇다면 물체의 운동이 바뀔 때, 즉 한 물체가 다른 물체와 상호작용을 할 때는 어떠한 현상이 일어나는가? 이 상황에 대한 수학적인 서술은 아이작 뉴턴에 의해서 완성된다. 이를 알기 위해서는 물체가 서로 상호작용할 때 어떤 물리량을 교환하는지를 알 필요가 있다.

결론적으로, 물체가 서로 상호작용을 할 땐, "질량 곱하기 속도"로 정의되는 물리량을 교환한다. 물체가 서로 상호작용을 해서 서로의 운동 상태를 바꾼 것을 다르게 보면 물체가 자신들의 운동을 교환했다고 볼 수도 있을텐데, 바로 "질량 곱하기 속도"가 교환된 것이다. 따라서 우리는 "질량 곱하기 속도"를 '운동의 크기'라고 봐도 무방할 것이다. 이런 관점에서 "질량 곱하기 속도"를 내용으로 하는 물리량을 정의하고, 이를 운동벡터, 혹은 간단히 운동량이라고 부른다.

그리고 위의 실험에서는, 당구공들은 모종의 상호 작용을 통해 서로가 자신이 원래 해야 하는 운동을 방해했다고 볼 수도 있다. 그렇다면 한 물체가 다른 물체의 운동을 '얼마나 세게 방해하고 있는지'도 물리학적 측정의 대상이 될 것이다. 한 물체가 다른 물체의 운동을 방해하는 작용을 '힘'이라고 불러도 무리가 없을 것이다. 실제로 물리학에서도 이것을 측정하는 물리량을 힘이라고 부르고 있다. 아래에서, 물리학에서는 힘을 어떻게 정의하는지를 살펴 보도록 한다.

• 한 물체가, 다른 물체가 원래 해야 하는 운동을 방해하는 일이 일어날 때, 그 사건에 대해 매 훈간순간에 한 물체가 다른 물체에 가한 운동의 변화를 그 물체에 가한 힘이라고 표현한다.

이 정의는, 알짜힘 즉 물체에 실질적으로 작용하는 힘을 모두 합친 하나의 힘을 언급하는 경우엔 수식으로는 F=d(mv)/dt 와 같이 쓸 수 있다.

하지만 위의 수식은 여러 힘이 작용할 때 각각의 힘에 대해서는 사용할 수는 없다. 여러 힘이 작용하는 순간에 각각의 힘의 크기를 구하기 위해서는 위에서 서술한 자연언어적 정의에 의존해야 하는데, 구체적인 방법은 예제를 풀어 보면서 배우게 될 것이다.

우리가 일반적으로 알고 있는 F=ma라는 공식은 후대의 오일러라는 수학자가 간소화한 공식으로, 물체가 상호작용을 할 때 질량이 바뀌는 경우는 거의 없음을 이용한 것이다. 위의 공식에서, m을 시간에 따라서 변하지 않는 상수로 취급하고, 미분 연산자를 속도에 대해서만 적용한 것이다.

위의 공식에서, ∫Fdt = Δmv 라는 수식 관계도 직관적으로 유도할 수 있을 것이다. 여기서 ∫Fdt 즉, 매 시간마다 작용한 힘들의 총합은 충격량이라는 물리량을 새로 정의해서 부르도록 한다. 한편, 외부와의 상호작용이 없는 계에서 그 계를 구성하는 모든 물질의 운동량의 총합은 일정한데, 이 사실에는 운동량 보존 법칙이라는 이름이 붙어 있다. 이 법칙은 앞으로 물리학의 여러 법칙을 정리할 때 등대와 같은 역할을 하게 된다.

비유적 의미

힘이 난다느니 힘이 쭉 빠진다 등등의 문맥에서 나오는 그것.힘이 솟아오른다...!

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