다른 뜻에 관한 내용은 범주 (동음이의) 문서를 읽어 주세요.틀:학술
수학에서, 범주(category, 줄여서 cat)는 특별한 집합과 연산을 추상화한 대수적 구조를 한번 더 추상화한 것이다. 모든 대수적 구조에 공통적으로 나타나는 '집합들'(object)과 '함수들'(morphism)을 가지고 있으며, 이 범주들 사이에 주어진 대응인 함자(functors)와 그 함자들 사이의 자연 변환(natural transformation)이 있다. Functors와 natural transformations는 다시 category를 이룬다.
범주론의 창시자인 Eilenberg와 Mac Lane에 따르면, category는 functor 때문에 만들었고, functor는 natural transformation 때문에 만들었다고 한다. Mac Lane은 homology의 공리화 과정에서 아이디어를 얻었다고 한다.
정의
범주(category)[1]는 메타-범주(metacategory)의 집합론적 표현이다. 더 자세하게는 category는 항등함수(identity)와 함수의 합성(composition)을 가진 directed graph(또는 diagram scheme)이다. 즉, category [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]는 다음과 같은 데이터로 구성된다:
- 모든 대상(object)들의 모임(class) [math]\displaystyle{ \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math].[2]
- 모든 화살표(arrow, 또는 morphism, map)들의 모임(class) [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(\mathcal C) = \bigcup_{a, b \in \operatorname{ob}(\mathcal C)} \operatorname{hom}(a, b) }[/math].[3]
- 정의역 연산자 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]
- 공역 연산자 [math]\displaystyle{ \operatorname{cod}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]
- 정의역이 [math]\displaystyle{ a }[/math], 공역이 [math]\displaystyle{ b }[/math]인 화살표를 [math]\displaystyle{ f: \; a \to b }[/math]로 표기하고, class [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(a, b) = \{ f \in \operatorname{hom}(\mathcal C): \; \operatorname{dom} f = a, \; \operatorname{cod} f = b \} }[/math]로 정의한다.
- 합성 가능한 짝(composable pair)들의 모임 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) = \{ (g, f): \; \operatorname{dom} g = \operatorname{cod} f\} }[/math]
- 합성 연산자 [math]\displaystyle{ \circ: \operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) }[/math]
- 항등함수 연산자 [math]\displaystyle{ \operatorname{id}_\bullet: \operatorname{ob}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) }[/math]
- 항등함수는 합성 연산에 대한 항등원으로 작용해야 한다. 즉, 다음 그림이 가환해야 한다.
