범주

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수학에서, 범주(category, 줄여서 cat)는 특별한 집합과 연산을 추상화한 대수적 구조를 한번 더 추상화한 것이다. 모든 대수적 구조에 공통적으로 나타나는 '집합들'(object)과 '함수들'(morphism)을 가지고 있으며, 이 범주들 사이에 주어진 대응인 함자(functors)와 그 함자들 사이의 자연 변환(natural transformation)이 있다. Functors와 natural transformations는 다시 category를 이룬다.

범주론의 창시자인 Eilenberg와 Mac Lane에 따르면, category는 functor 때문에 만들었고, functor는 natural transformation 때문에 만들었다고 한다. Mac Lane은 category theory의 아이디어를 homology의 공리화 과정에서 얻었다고 한다.

정의

범주(category)는 메타-범주(metacategory)의 집합론적 표현이다. 더 자세하게는 category는 항등함수(identity)와 함수의 합성(composition)을 가진 유향 그래프(directed graph, 또는 diagram scheme)이다. 즉, category [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]는 다음과 같은 데이터로 구성된다:

• 모든 대상(object)들의 모임(class) [math]\displaystyle{ \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math].
• 모든 화살표(arrow, 또는 morphism, map)들의 모임(class) [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(\mathcal C) = \bigcup_{a, b \in \operatorname{ob}(\mathcal C)} \operatorname{hom}(a, b) }[/math].
• 정의역 연산자 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]
• 공역 연산자 [math]\displaystyle{ \operatorname{cod}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]
  • 정의역이 [math]\displaystyle{ a }[/math], 공역이 [math]\displaystyle{ b }[/math]인 화살표를 [math]\displaystyle{ f: \; a \to b }[/math]로 표기하고, class [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(a, b) = \{ f \in \operatorname{hom}(\mathcal C): \; \operatorname{dom} f = a, \; \operatorname{cod} f = b \} }[/math]로 정의한다.
  • 합성 가능한 짝(composable pair)들의 모임 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) = \{ (g, f): \; \operatorname{dom} g = \operatorname{cod} f\} }[/math]
• 합성 연산자 [math]\displaystyle{ \circ: \operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) }[/math]
  • 합성 연산은 결합법칙을 만족해야 한다. 즉, 다음 그림이 가환해야 한다.

• 항등함수 연산자 [math]\displaystyle{ \operatorname{id}_\bullet: \operatorname{ob}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) }[/math]
  • 항등함수는 합성 연산에 대한 항등원으로 작용해야 한다. 즉, 다음 그림이 가환해야 한다.

작은 범주와 큰 범주

• [math]\displaystyle{ \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]와 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(\mathcal C) }[/math]이 모두 집합일 때, [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]는 작은 범주(small category)라고 한다.
• 작은 범주가 아니면 큰 범주(large category)라고 한다.
  • 큰 범주 중에서, 모든 [math]\displaystyle{ a, b\in \operatorname{ob}(\mathcal C) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(a, b) }[/math]가 집합일 때, [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]는 국소적으로 작은 범주(locally small category)라고 한다. 여기서 '국소적'은 전체 morphism들의 모임이 아닌 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(a, b) }[/math]를 보았을 때를 의미하는 것이다. 이때 각각의 [math]\displaystyle{ \operatorname{hom}(a, b) }[/math]를 homset이라고 한다.

Large category는 상대적으로 다루기가 어렵다. 그래도 locally small이면 그나마 나은 편이다. 많은 수학적으로 의미 있는 category들은 locally small이다.

Dual

이와 관련한 내용은 쌍대 (범주론)에서 볼 수 있습니다.

범주 [math]\displaystyle{ \mathcal C }[/math]의 범주론적 쌍대(categorical dual) 또는 반대 범주(opposite category) [math]\displaystyle{ \mathcal C^\mathrm{op} }[/math]는 화살표의 방향을 모두 거꾸로 한 category를 말한다.

범주의 예

자주 쓰이는 국소적으로 작은 구체적 범주의 예

범주	설명	대상	사상
Set	집합 범주	집합	함수
Grp	군 범주	군	군 준동형
Mag	마그마 범주	마그마	마그마 준동형
Ring	환 범주	환	환 준동형
R-Mod (또는 Mod(R), ModR)	R-모듈(가군)의 범주. 이때 R∈ob(Ring)이다.	R-모듈	모듈 준동형
Top	위상공간 범주	위상공간	연속함수
k-Vect (또는 Vect(k), Vectk))	k-벡터공간의 범주. k-모듈의 범주의 부분범주이다.	k-벡터공간	k-선형사상
Mann	n-급 다양체의 범주	n-급 다양체	n-급 함수 (Cn)
Met	거리공간 범주	거리공간	짧은 사상 (약한 축소 사상)
Uni	균등공간 범주	균등공간	균등연속 함수

함자 [math]\displaystyle{ F: \; \mathcal C \to \mathcal D }[/math]들을 하나의 대상으로 보는 범주인 함자 범주(functor category) [math]\displaystyle{ \mathbf{Fct}(\mathcal C, \; \mathcal D) =[\mathcal C, \; \mathcal D]= \mathcal D ^ {\mathcal C} }[/math]도 있다.

또한 Set으로의 반변 함자 [math]\displaystyle{ \tilde F: \; \mathcal C \to \mathbf{Set} }[/math](즉 (공변) 함자 [math]\displaystyle{ \tilde F: \; \mathcal C^{\mathrm {op}} \to\mathbf{Set} }[/math])들을 모아 놓은 범주인 [math]\displaystyle{ \mathcal C^{\wedge} =[\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathbf{Set}] }[/math]는 준층(presheaf)들의 모임이 된다. [math]\displaystyle{ [\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathcal D] }[/math]의 대상을 [math]\displaystyle{ \mathcal D }[/math]-valued 준층이라고 하기도 한다.