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리만 제타함수: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
== 정의 ==
<math>s\)가 <math>\operatorname{Re} s >1\)인 [[복소수]]일 때, [[함수]] <math>\zeta:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\)를
<math>s</math>가 <math>\operatorname{Re} s >1</math>인 [[복소수]]일 때, [[함수]] <math>\zeta:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>를
: <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>
: <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math>
로 정의하면 <math>\zeta(s)\)는 [[수렴]]한다. 이때 <math>\zeta\)를 '''리만 제타함수(Riemann zeta function)'''라고 한다.
로 정의하면 <math>\zeta(s)</math>는 [[수렴]]한다. 이때 <math>\zeta</math>를 '''리만 제타함수(Riemann zeta function)'''라고 한다.


== 수치 ==
== 수치 ==
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== 성질 ==
== 성질 ==
* <math>\zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}</math>
* <math>\zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}</math>
* <math>\operatorname{Re} s > 2\)일 때 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}</math>이다. 이때 <math>\phi\)는 [[오일러 피 함수]]이다.
* <math>\operatorname{Re} s > 2</math>일 때 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}</math>이다. 이때 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다.


== 현재까지 알려진 성과 ==
== 현재까지 알려진 성과 ==
* <math>\zeta(3)\)은 [[무리수]]이다.<ref>Apéry, R. (1979). "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)". Astérisque 61: 11–13.</ref>
* <math>\zeta(3)</math>은 [[무리수]]이다.<ref>Apéry, R. (1979). "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)". Astérisque 61: 11–13.</ref>
* <math>\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)\) 중 적어도 하나는 무리수이다.<ref>W W Zudilin, "One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational", RUSS MATH SURV, 2001, 56 (4), 774–776</ref>
* <math>\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)</math> 중 적어도 하나는 무리수이다.<ref>W W Zudilin, "One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational", RUSS MATH SURV, 2001, 56 (4), 774–776</ref>
* <math>k\)가 양의 [[정수]]일 때, <math>\zeta(2k+1)\) 꼴의 수 중 무리수는 무수히 많다.<ref>Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique 331 (4): 267–270.</ref>
* <math>k</math>가 양의 [[정수]]일 때, <math>\zeta(2k+1)</math> 꼴의 수 중 무리수는 무수히 많다.<ref>Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique 331 (4): 267–270.</ref>


== 같이 보기 ==
== 같이 보기 ==

2018년 12월 17일 (월) 19:12 판


정의

[math]\displaystyle{ s }[/math]가 [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt 1 }[/math]인 복소수일 때, 함수 [math]\displaystyle{ \zeta:\mathbb{C}\to\mathbb{C} }[/math]를

[math]\displaystyle{ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} }[/math]

로 정의하면 [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math]는 수렴한다. 이때 [math]\displaystyle{ \zeta }[/math]를 리만 제타함수(Riemann zeta function)라고 한다.

수치

  • [math]\displaystyle{ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945} }[/math]

성질

  • [math]\displaystyle{ \zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt 2 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} }[/math]이다. 이때 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]는 오일러 피 함수이다.

현재까지 알려진 성과

  • [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math]은 무리수이다.[1]
  • [math]\displaystyle{ \zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11) }[/math] 중 적어도 하나는 무리수이다.[2]
  • [math]\displaystyle{ k }[/math]가 양의 정수일 때, [math]\displaystyle{ \zeta(2k+1) }[/math] 꼴의 수 중 무리수는 무수히 많다.[3]

같이 보기

각주

  1. ↑ Apéry, R. (1979). "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)". Astérisque 61: 11–13.
  2. ↑ W W Zudilin, "One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational", RUSS MATH SURV, 2001, 56 (4), 774–776
  3. ↑ Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique 331 (4): 267–270.