라디안

라디안(radian)은 각도 단위 중 하나로, 부채꼴의 반지름과 호의 길이가 같을 때 중심각의 크기를 1라디안이라고 하고, [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad} }[/math]로 쓴다. 보통 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]는 생략한다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ \sin (1\operatorname{rad}) }[/math]은 [math]\displaystyle{ \sin 1 }[/math]로 간단하게 표기한다.

역사

라디안이라는 표현이 사용된 것은 비교적 최근으로 알려져 있다.

로저 코츠의 초상

호도, 즉 부채꼴의 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때 그 부채꼴의 중심각의 각도라는 개념 자체는 1917년 영국의 수학자였던 로저 코츠(Roger Cotes, 1682년 7월 10일~1716년 6월 5일)에 의해 이미 사용되고 있었다. 다만 어디까지나 개념만 언급한 것이지, 라디안이라는 이름까진 언급하진 않고 있다.

현재까지 남겨진 기록 중 라디안이라는 이름이 처음으로 등장하기 시작한 것은 1873년 6월 5일 퀸스 대학교 벨파스트의 물리학자였던 제임스 톰슨(James Thomson)이 낸 시험 문제에서의 등장이 처음이라고 한다. 카더라 통신에 의하면 원래 제임스 톰슨이 라디안이라는 표현을 쓴 것은 그보다 훨씬 전인 1871년부터였지만.

세인트앤드루스 대학교의 교수였던 토머스 뮤어는 1869년 내내 '이 부채꼴의 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때 그 부채꼴의 중심각의 각도'의 이름을 라드(rad), 라디알(radial), 라디안(radian) 중에서 뭘로 정할지 고민했었다고 한다.

이후 6년이라는 긴 시간이 지난 1874년이 되어서야 토머스 뮤어는 이 특수한 각의 명칭을 제임스 톰슨과의 상의 끝에 라디안으로 채택하게 된다.

60분법과의 관계

라디안과 60분법의 관계를 알기 위해서는 세 가지를 머릿속에 담고 있어야 한다.

첫번째로, 원주율에 대해서 명심할 사실이 있는데 π×(원의 지름)=(원의 둘레)라는 사실이다. 양변에 똑같이 2를 나눠보면 π×(원의 지름)/2=(원의 둘레)/2가 되므로 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)가 된다.

두번째로, 부채꼴에서 중심각의 크기는 그 부채꼴의 호의 길이에 비례한다는 사실이다.

세번째로, 중심각이 1rad인 부채꼴의 호의 길이는 반지름과 같다.이다.

따라서
π×(원의 반지름):π×1rad=(반원의 호의 길이):(반원의 중심각의 크기)
이렇게 되는데 상술했듯 π×(원의 반지름)=(반원의 호의 길이)이므로
(같은 거):π×1rad=(같은 거):(반원의 중심각의 크기)
가 된다. 서로 같은 것에 대한 비례가 같다는 게 무슨 뜻이겠어? 당연히 그것들도 같다는 뜻이다.

결국
π×1rad=(반원의 중심각의 크기)
가 되므로

πrad=180°이다.

그리하여 2πrad=360°, πrad/2=90°, πrad/4=45°,....이 된다는 것도 알 수 있다.

이러한 이유로 라디안은 원주율과 합쳐서 각도를 나타낼 때도 있는데 이때 °로 끝나지 않기 때문에 각도가 아니라고 착각을 하기가 쉽다.게다가 상술했듯이 원주율 뒤의 rad를 생략할 때가 많아서 π/2가 90°의 각도라는 것을 모르고 이게 길이인 줄 알고 잘못 계산하는 경우가 있다. 조심하자.

하단의 표는 모두 π 뒤에 원래 곱해져 있던 rad를 생략한 것이다. 따라서 그걸 감안하고 보아야 한다.

도	라디안
0°	0
15°	π/12
30°	π/6
45°	π/4
60°	π/3
90°	π/2
135°	3π/4
180°	π
270°	3π/2
360°	2π

부채꼴의 반지름의 길이와 호의 길이가 같을 때, 반지름을 [math]\displaystyle{ r }[/math]이라 하면

[math]\displaystyle{ 2\pi r : 360^\circ = r:\alpha^\circ }[/math]

에서

[math]\displaystyle{ \alpha^\circ = \frac{180^\circ}{\pi} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad}=\frac{180^\circ}{\pi} }[/math]

을 얻는다. 그런데 2015 개정 교육과정을 따르는 미적분Ⅱ 교과서를 검토하면 대부분이 라디안을 "일정한 각의 크기 [math]\displaystyle{ \frac{180^\circ}{\pi} }[/math]를 [math]\displaystyle{ 1\operatorname{rad} }[/math]이라 한다"라고 정의하고 있는데, 이는 라디안이 새로운 측도가 아니라 단순히 60분법의 변환에 불과하다는 인상을 준다는 단점이 있다.^:313-314

호의 길이와 넓이

이와 관련한 내용은 부채꼴에서 볼 수 있습니다.

반지름이 [math]\displaystyle{ r }[/math], 중심각이 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]인 부채꼴의 호의 길이를 [math]\displaystyle{ l }[/math], 부채꼴의 넓이를 [math]\displaystyle{ S }[/math]라 하면

[math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ S=\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl }[/math]

이다.

Proof 중심각의 크기에 정비례하기 때문에 [math]\displaystyle{ 2\pi r : l = 2\pi : \theta }[/math] 이고, 따라서 호의 길이는 [math]\displaystyle{ l=\frac{2\pi r\cdot \theta}{2\pi}=r\theta }[/math] 이다. 마찬가지로 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하기 때문에 [math]\displaystyle{ \pi r^2 : S = 2\pi : \theta }[/math] 이고, 따라서 [math]\displaystyle{ S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl }[/math] 이다.

말로 풀이 우선 부채꼴에서 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하기 때문에 (원의 지름):(부채꼴의 호의 길이)=(원의 중심각의 크기(?):(부채꼴의 중심각의 크기)이다. 이때 이 비를 비례식 문서에도 나오지만 분수 형태로 바꿔줄 수 있다. [math]\displaystyle{ \frac{(원의 지름)}{(부채꼴의 호의 길이)} = \frac{(원의 중심각의 크기)}{(부채꼴의 중심각의 크기)} }[/math] 이렇게. 이때 양변에 [math]\displaystyle{ \frac{(부채꼴의 호의 길이)×(부채꼴의 중심각의 크기)}{(원의 중심각의 크기)} }[/math]를 곱해주면 양변이 약분이 되면서 (부채꼴의 호의 길이)=[math]\displaystyle{ \frac{(원의 지름)×(부채꼴의 중심각의 크기)}{(원의 중심각의 크기)} }[/math]가 된다. 따라서 위 증명에서 서술했듯 [math]\displaystyle{ S=\frac{\pi r^2\theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}rl }[/math]가 된다. Q.E.D.

여기서 [math]\displaystyle{ l=r\theta }[/math]에 등장하는 [math]\displaystyle{ \theta }[/math]에는 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]이 붙어있지 않다. [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]가 붙어 있다고 가정하고, [math]\displaystyle{ r,l }[/math]에 길이 단위인 미터를 붙이면

[math]\displaystyle{ l\;(\mathrm{m})=r\theta\;(\mathrm{m\times rad}) }[/math]

으로 단위 차원이 일치하지 않기 때문이다.

미적분과 라디안

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x^\circ}{x}=\frac{\pi}{180} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\sin x =\cos x }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}\sin x^\circ = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin x = \frac{\pi}{180}x -\left(\frac{\pi}{180}\right)^3\frac{x^3}{3!}+\left(\frac{\pi}{180}\right)^5\frac{x^5}{5!}-\left(\frac{\pi}{180}\right)^7\frac{x^7}{7!}+\cdots }[/math]

물리학과 라디안

라디안은 무차원인 SI 유도 단위이다. 라디안은 교수자와 학습자 모두에게 혼동을 일으킨다.^:84 예를 들어, 접선 속력 공식을 살펴보자.

[math]\displaystyle{ v_t = r\frac{d\theta}{dt}=r\omega }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ r }[/math]의 단위를 [math]\displaystyle{ \mathrm{m} }[/math], [math]\displaystyle{ \omega }[/math]의 단위를 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad}/\mathrm{s} }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ v_t }[/math]의 단위는 [math]\displaystyle{ \mathrm{m}\cdot \operatorname{rad}/\mathrm{s} }[/math]가 되는데, 이는 속력의 단위가 [math]\displaystyle{ \mathrm{m/s} }[/math]인 것과 일치하지 않는다.^:86

포장함수

이와 관련한 내용은 삼각함수에서 볼 수 있습니다.

원 [math]\displaystyle{ x^2+y^2= r^2\;(r\gt 0) }[/math] 위의 임의의 한 점을 [math]\displaystyle{ \mathrm{P}(x,y) }[/math]라 하고, [math]\displaystyle{ \mathrm{A}=(r,0) }[/math]이며, [math]\displaystyle{ \theta=\angle \mathrm{POA} }[/math]라 하면 삼각함수는 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ \sin\theta=\frac{y}{r} }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos\theta=\frac{x}{r} }[/math]

[math]\displaystyle{ \tan\theta=\frac{y}{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \csc\theta=\frac{r}{y} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sec\theta=\frac{r}{x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \cot\theta=\frac{x}{y} }[/math]

이때 삼각함수는 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수가 맞을까? 어떤 교과서는 "일반각을 호도법으로 나타내고 단위를 생략하면 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 함수가 된다"라고 서술하며, 예비교사 다수도 [math]\displaystyle{ \operatorname{rad} }[/math]를 생략하면 삼각함수의 정의역이 실수가 된다고 답하였다.^:321 래핑을 통한 은유가 제안되기도 한다. 실제로 Precalculus 교재 일부는 포장함수(wrapping function) [math]\displaystyle{ W(x) }[/math]를 정의한다.

[math]\displaystyle{ W(0)=(1,0) }[/math]

[math]\displaystyle{ W(1)=(0,1) }[/math]

[math]\displaystyle{ W\left(\frac{3}{4}\pi\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x }[/math]좌표, [math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math]는 [math]\displaystyle{ W(\theta) }[/math]의 [math]\displaystyle{ y }[/math]좌표로 정의한다.

같이 보기

• 삼각함수

외부 링크

• (영어) Radians