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동형정리

Hwangjy9 (토론 | 기여)님의 2019년 2월 3일 (일) 16:38 판

개요

동형정리(Isomorphism theorem)는 여러 대수적 구조의 동형관계를 밝히는 정리다.

진술

군

제1동형정리

  • 함수 [math]\displaystyle{ f: G\to H }[/math]가 [math]\displaystyle{ \ker f=K }[/math]인 전사 준동형사상이라고 하자. 그러면 몫군 G/K는 H와 동형이다.

함수 [math]\displaystyle{ \varphi: G/K\to H }[/math]를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ \varphi(Kg)=f(g) }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]가 잘 정의되어 있음을 보이자. 임의의 [math]\displaystyle{ g_1,g_2\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ Kg_1=Kg_2 }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ g_1g_2^{-1}\in K }[/math]이다. K의 정의에 의해,

[math]\displaystyle{ f(g_1g_2^{-1})=e_H }[/math]

이고 f가 준동형사상이므로

[math]\displaystyle{ f(g_1)f(g_2^{-1})=e_H }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ f(g_2^{-1})=f(g_2)^{-1} }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ f(g_1)=f(g_2) }[/math]

를 얻는다. 따라서 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 잘 정의되어 있다. 이제 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]가 동형사상임을 보이면 된다. [math]\displaystyle{ G/K }[/math]의 임의의 원소를 [math]\displaystyle{ Kg_1,Kg_2 }[/math]로 나타낼 수 있다. 그러면

[math]\displaystyle{ \require{AMSmath}\require{AMSsymbols}\begin{align} \varphi(Kg_1)\varphi(Kg_2)&=f(g_1)f(g_2)&\quad(\because \text{definition of }\varphi)\\ &=f(g_1g_2)&\quad(\because f\text{ is a homorphism})\\ &=\varphi(Kg_1g_2)&\quad(\because \text{definition of }\varphi)\\ &=\varphi((Kg_1)(Kg_2))&\quad(\because\text{definition of product of cosets}) \end{align} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 준동형사상이다. 이제 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]가 일대일 대응임을 보이자.

임의의 [math]\displaystyle{ g_1,g_2\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \varphi(Kg_1)=\varphi(Kg_2) }[/math]라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ f(g_1)=f(g_2) }[/math]이다. 그러면 f는 준동형사상이므로 [math]\displaystyle{ f(g_1g_2^{-1})=e_H }[/math]이고 따라서 [math]\displaystyle{ g_1g_2^{-1}\in K }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ g_1\equiv g_2\pmod{K} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ Kg_1=Kg_2 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 일대일 함수임을 안다.

한편, 임의의 [math]\displaystyle{ h\in H }[/math]에 대해 f는 위로의 함수이므로 [math]\displaystyle{ h=f(c) }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in G }[/math]가 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle{ f(c)=\varphi(Kc) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ h=\varphi(Kc) }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 위로의 함수임을 안다.

[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 위로의 함수이고 일대일 함수이므로, 일대일 대응이다. 앞에서 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]가 준동형사상임을 보였으므로 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 동형사상이고, 따라서 [math]\displaystyle{ G/K\cong H }[/math]이다.

제2동형정리

K는 군 G의 부분군이고 N은 G의 정규부분군이라고 하자. 그러면

  • [math]\displaystyle{ NK=\{nk\vert n\in N \wedge k\in K\} }[/math]는 G의 부분군이다.
  • N은 NK의 정규부분군이다.

N이 G의 정규부분군이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]이다. [math]\displaystyle{ NK\subseteq G }[/math]이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in NK }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]이다. 따라서 N은 NK의 정규부분군이다.

  • [math]\displaystyle{ K/(N\cap K)\cong NK/N }[/math]이다.

함수 [math]\displaystyle{ f:K\to NK/N }[/math]를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ f(k)=Nk\text{ for each }k\in K }[/math]

f가 준동형사상임을 보이자. 임의의 [math]\displaystyle{ k_1,k_2\in K }[/math]에 대해,

[math]\displaystyle{ \begin{align} f(k_1)f(k_2)&=Nk_1Nk_2\\ &=Nk_1k_2\\ &=f(k_1k_2) \end{align} }[/math]

이므로 f는 준동형사상이다. 이제 f가 위로의 함수임을 보이자. [math]\displaystyle{ NK/N }[/math]의 임의의 원소는 Nnk (단, [math]\displaystyle{ n\in N,k\in K }[/math])으로 나타낼 수 있다. 그런데 [math]\displaystyle{ Nnk=(Nn)(Nk)=N(Nk)=Nk }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f(k)=Nk=Nnk }[/math]이므로 f는 위로의 함수이다. 따라서 f는 전사인 준동형사상이다. 이제 f의 핵을 구하자. [math]\displaystyle{ NK/N }[/math]의 항등원은 N이므로, [math]\displaystyle{ f(k)=Nk=N }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ k\in K }[/math]가 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math]의 원소다. [math]\displaystyle{ Nk=N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ k\in N }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \ker f=K\cap N }[/math]이다. 따라서 제1동형정리에 의해 원하는 결론을 얻는다.

제3동형정리

[math]\displaystyle{ K,N }[/math]이 [math]\displaystyle{ N\subseteq K\subseteq G }[/math]인 군 G의 정규부분군이라고 하자. 그러면

  • [math]\displaystyle{ K/N }[/math]는 [math]\displaystyle{ G/N }[/math]의 정규부분군이다.

N이 K의 부분군이라는 건 자명하다. N은 G의 정규부분군이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ k\in K }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ kN=Nk }[/math]이다. 따라서 N은 K의 정규부분군이다. 그러면 [math]\displaystyle{ K/N }[/math]은 군이고 원소들은 Nk의 꼴로 표현할 수 있다. Nk는 [math]\displaystyle{ G/N }[/math]의 원소이므로, [math]\displaystyle{ K/N }[/math]은 [math]\displaystyle{ G/N }[/math]의 부분군이다. 한편, K가 G의 정규부분군이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G, k\in K }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gk=k_1g,kg=gk_2 }[/math]인 [math]\displaystyle{ k_1,k_2\in K }[/math]가 존재한다. 따라서

[math]\displaystyle{ (Ng)(Nk)=Ngk=Nk_1 g=(Nk_1)(Ng) }[/math],
[math]\displaystyle{ (Nk)(Ng)=Nkg=Ngk_2=(Ng)(Nk_2) }[/math]

이므로, [math]\displaystyle{ K/N }[/math]은 [math]\displaystyle{ G/N }[/math]의 정규부분군이다.

  • [math]\displaystyle{ (G/N)/(K/N) \cong G/K }[/math]이다.

함수 [math]\displaystyle{ f:G/N\to G/K }[/math]를 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ f(Ng)=Kg\text{ for each }Ng\in G/N }[/math]

f가 잘 정의되어 있음을 보이자. 임의의 [math]\displaystyle{ g_1,g_2\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ Ng_1=Ng_2 }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ g_1g_2^{-1}\in N }[/math]이고, [math]\displaystyle{ N\subseteq K }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ g_1g_2^{-1}\in K }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ Kg_1=Kg_2 }[/math]이다. 따라서 f는 잘 정의되어 있다.

f가 전사인 준동형사상임을 보이자. [math]\displaystyle{ G/K }[/math]의 임의의 원소를 Kg로 나타낼 수 있는데, 그러면 [math]\displaystyle{ Kg=f(Ng) }[/math]이므로 f는 위로의 함수이다. 임의의 [math]\displaystyle{ g_1,g_2\in G }[/math]에 대해,

[math]\displaystyle{ \begin{align} f(Ng_1)f(Ng_2)&=Kg_1Kg_2&(\because \text{definition of }f)\\ &=Kg_1g_2&(\because \text{definition of product of cosets})\\ &=f(Ng_1g_2)&(\because \text{definition of }f)\\ &=f((Ng_1)(Ng_2))&(\because \text{definition of product of cosets}) \end{align} }[/math]

이므로 f는 준동형사상이다. 이제 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math]를 구하자. [math]\displaystyle{ f(Ng)=K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ Kg=K }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ g\in K }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ \ker f=K/N }[/math]이고, 제1동형정리에 의해 원하는 결론을 얻는다.

쉬운 증명

다음 보조정리가 있으면 상당히 쉬워진다.

[보조정리] [math]\displaystyle{ \varphi : G \to H }[/math]가 군 준동형사상이고, [math]\displaystyle{ G' \trianglelefteq G, H' \trianglelefteq H }[/math]라고 하자. 함수 [math]\displaystyle{ \overline{\varphi} : G/G' \to H/H' }[/math]를

[math]\displaystyle{ \overline{\varphi} \, \overline{x} = \overline{\varphi x} \qquad (x \in G) }[/math]

로 정의하려고 할 때,

(가) [math]\displaystyle{ \overline{\varphi} }[/math]가 잘 정의된 군 준동형사상인 것과 [math]\displaystyle{ \varphi G' \leq H' }[/math](또는 [math]\displaystyle{ G' \leq \varphi^{-1} H' }[/math])인 것은 동치이다.

(나) [math]\displaystyle{ \overline{\varphi} }[/math]가 잘 정의된 군 단사사상인 것과 [math]\displaystyle{ G' = \varphi^{-1} H' }[/math]인 것은 동치이다.

[증명]

(가) [⇒] [math]\displaystyle{ x \in G' }[/math]이면,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \overline{\varphi x}&= \overline{\varphi} \, \overline{x}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ &= \overline{\varphi} \, \overline{e_G}&(\because x \in G' \Leftrightarrow \overline{x} = \overline{e_G})\\ &= \overline{\varphi e_G}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ &= \overline{e_H}&(\because \varphi \text{ is a homomorphism})\\ \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \therefore \varphi x \in H' }[/math]

[⇐] (잘 정의됨) [math]\displaystyle{ x, y \in G }[/math]가 [math]\displaystyle{ x y^{-1} \in G' }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \varphi x \, \varphi y^{-1} = \varphi ( xy^{-1} ) \in \varphi G' \leq H' }[/math]이므로 잘 정의되어 있다.

(군 준동형사상) 언제나처럼 작대기만 끊었다 이었다 하면 된다. 즉, [math]\displaystyle{ x, y \in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \begin{align} \overline{\varphi} ( \overline{x} \, \overline{y} )&= \overline{\varphi} ( \overline{xy} )&(\because \text{ definition of product of cosets})\\ &= \overline{\varphi (xy)}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ &= \overline{\varphi x \, \varphi y}&(\because \varphi \text{ is a homomorphism})\\ &= \overline{\varphi x} \, \overline{\varphi y}&(\because \text{ definition of product of cosets})\\ \end{align} }[/math]

이므로 군 준동형사상이 된다. ■

(나) [⇒] (가)에서 ≤ 방향은 보였으므로 [math]\displaystyle{ G' \geq \varphi^{-1} H' }[/math]만 보이면 된다. 이제 [math]\displaystyle{ x \in \varphi^{-1} H' }[/math], 즉 [math]\displaystyle{ \varphi x \in H' }[/math]이면,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \overline{\varphi} \, \overline{x}&= \overline{\varphi x}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ &= \overline{e_H}&(\because \varphi x \in H' \Leftrightarrow \overline{\varphi x} = \overline{e_H})\\ &= \overline{\varphi e_G}&(\because \varphi \text{ is a homomorphism})\\ &= \overline{\varphi} \, \overline{e_G}&(\because \text{ definition of }\varphi)\\ \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \therefore x \in G' }[/math]

[⇐] (가)에서 잘 정의된 군 준동형사상임은 보였으므로 단사성만 보이면 된다. 언제나처럼 잘 정의되는지에 관한 증명을 반대로 하면 된다.

[math]\displaystyle{ \varphi x \, \varphi y^{-1} \in H' }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \varphi ( xy^{-1} ) = \varphi x \, \varphi y^{-1} \in H' }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ xy^{-1} \in \varphi^{-1} H' = G' }[/math]이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다. ■
  • 제1동형정리의 증명

위 보조정리에서 [math]\displaystyle{ \varphi = f }[/math]이고, [math]\displaystyle{ H' = \{ e_H \}, \; G' = \ker f = f^{-1} H' }[/math]인 경우이므로, [math]\displaystyle{ \overline{f} }[/math]는 잘 정의된 군 단사사상이 된다. 전사성은 앞에서처럼 거의 자명하다. ■

  • 제2동형정리의 증명

위 보조정리에서 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 전형매장(canonical embedding) [math]\displaystyle{ \jmath : K \to NK }[/math]이고, [math]\displaystyle{ H' = N, \; G' = N \cap K }[/math]인 경우이다. [math]\displaystyle{ G' = \jmath^{-1} H' }[/math]임은 거의 자명하고, 전사성은 앞에서처럼 보이면 된다. ■

  • 제3동형정리의 증명

위 보조정리를 써서 잘 정의된 군 준동형사상 [math]\displaystyle{ \overline{id_X} : G/N \to G/K }[/math]를 얻는다. 전사성과 [math]\displaystyle{ \ker \overline{id_X} = K/N }[/math]임은 거의 자명하고, 제1동형정리에 의해 원하는 결론을 얻는다. ■

환

제1동형정리

  • 함수 [math]\displaystyle{ f: R\to S }[/math]가 [math]\displaystyle{ \ker f=K }[/math]인 전사 준동형사상이라고 하자. 그러면 몫환 R/K는 S와 동형이다.

함수 [math]\displaystyle{ \varphi: R/K\to S }[/math]를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ \varphi(K+r)=f(r) }[/math]

그러면 군에서 제1동형정리를 증명할 때와 비슷한 방법으로 증명할 수 있으므로, 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.

제2동형정리

[math]\displaystyle{ I,J }[/math]를 환 R의 아이디얼이라고 하자. 그러면

  • [math]\displaystyle{ I\cap J }[/math]는 [math]\displaystyle{ I,J }[/math]의 아이디얼이다.
  • [math]\displaystyle{ I,J }[/math]는 [math]\displaystyle{ I+J }[/math]의 아이디얼이다.
  • [math]\displaystyle{ I/I\cap J \cong (I+J)/J }[/math]이다.

제3동형정리

[math]\displaystyle{ I,K }[/math]가 환 R의 아이디얼이고 [math]\displaystyle{ K\subseteq I }[/math]라고 가정하자. 그러면

  • [math]\displaystyle{ I/K }[/math]는 [math]\displaystyle{ R/K }[/math]의 아이디얼이다.
  • [math]\displaystyle{ (R/K)/(I/K)\cong R/I }[/math]이다.