개요
동형정리(Isomorphism theorem)는 여러 대수적 구조의 동형관계를 밝히는 정리다.
진술
군
제1동형정리
함수 [math]\displaystyle{ f: G\to H }[/math]가 [math]\displaystyle{ \ker f=K }[/math]인 전사 준동형사상이라고 하자. 그러면 몫군 G/K는 H와 동형이다.
제2동형정리
K는 군 G의 부분군이고 N은 G의 정규부분군이라고 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ NK=\{nk\vert n\in N \wedge k\in K\} }[/math]는 G의 부분군이다.
- N은 NK의 정규부분군이다.
- [math]\displaystyle{ K/(N\cap K)\cong NK/N }[/math]이다.
제3동형정리
[math]\displaystyle{ K,N }[/math]이 [math]\displaystyle{ N\subseteq K\subseteq G }[/math]인 군 G의 부분군이라고 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ K/N }[/math]는 [math]\displaystyle{ G/N }[/math]의 아이디얼이다.
- [math]\displaystyle{ (G/N)/(K/N)\cong G/K }[/math]이다.
환
제1동형정리
함수 [math]\displaystyle{ f: R\to S }[/math]가 [math]\displaystyle{ \ker f=K }[/math]인 전사 준동형사상이라고 하자. 그러면 몫환 R/K는 S와 동형이다.
제2동형정리
[math]\displaystyle{ I,J }[/math]를 환 R의 아이디얼이라고 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ I\cap J }[/math]는 [math]\displaystyle{ I,J }[/math]의 아이디얼이다.
- [math]\displaystyle{ I,J }[/math]는 [math]\displaystyle{ I+J }[/math]의 아이디얼이다.
- [math]\displaystyle{ I/I\cap J \cong (I+J)/J }[/math]이다.
제3동형정리
[math]\displaystyle{ I,K }[/math]가 환 R의 아이디얼이고 [math]\displaystyle{ K\subseteq I }[/math]라고 가정하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ I/K }[/math]는 [math]\displaystyle{ R/K }[/math]의 아이디얼이다.
- [math]\displaystyle{ (R/K)/(I/K)\cong R/I }[/math]이다.