기저'귀'
기저(basis)
단어
어떤 것의 바닥 또는 기초가 되는 부분.
반의어: 표면
수학에서 정의되는 개념
선형대수학에서
정의
벡터공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 원소들 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n }[/math]이 선형독립이고 [math]\displaystyle{ V }[/math]를 생성할 때, [math]\displaystyle{ \mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저(basis)라고 한다. 모든 선택공리를 인정하는 경우 벡터공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. 여기서 "모든 벡터공간은 기저를 가진다."는 선택 공리와 동치인 명제로, 흔히 초른의 보조정리(Zorn's Lemma)라고 불린다.
차원
[math]\displaystyle{ V }[/math]의 한 기저에 들어있는 벡터의 개수를 차원(dimension)이라 하고, [math]\displaystyle{ \dim V }[/math]로 나타낸다. 여기서 이 것이 함수임이, 즉 한 벡터공간에서 어떤 기저를 골라도 포함되어 있는 벡터의 개수가 같음을 "Dimension Theorem"이라고 한다.
설명
기저는 일차독립인 최대크기의 벡터순서쌍을 말하며, 차원은 직관적으로 그 공간에 정보가 몇 개 있느냐를 말한다. 가령 xy평면에서 x축과 y축이 바로 기저가 된다(정확히는 x축 방향 단위벡터와 y축 방향 단위벡터). xy 평면 위의 모든 점은 x좌표와 y좌표 두 개의 숫자만으로 다 표현되고, 또 유일하게 표현된다. 만일 다른 정보를 만들 수 있더라도(예를 들어 원점으로부터의 거리), 이는 x좌표와 y좌표로 나타낼 수 있다. 즉 [math]\displaystyle{ r = \sqrt{x^2 + y^2} }[/math].
그렇다면 무한차원 벡터공간도 존재할 수 있는지 의문을 갖게 된다. 즉 한 벡터를 나타내는 데 정보가 무한히 많이 필요하다는 건데… 당연히 가능하다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]벡터공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]이라든가, 함수공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^\mathbb{R} = \left\{ f|f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \right\} }[/math]만 생각해 봐도 그렇다. 이런 공간의 기저를 찾기란… 시도하지 않는 것을 권장한다. 다만 선택공리가 있으면 존재성은 보장할 수 있다.
대학생들이 들어볼 수 있는 가장 유명하고 기초적인 기저는 바로 삼각함수이다. Cos 파와 Sin 파는 서로 직교성을 지니는데 이 개념을 이용해 두 함수로 다른 파동을 표현할 수가 있다. 그게 바로 푸리에 변환.
위상수학에서
어떤 위상공간에서 원소가 열린집합들인 집합 [math]\displaystyle{ B }[/math]가 모든 열린집합이 [math]\displaystyle{ B }[/math]에 있는 열린집합들의 합집합[1]이나 유한개의 교집합으로 표현가능할 때 기저(base, basis)라고 부른다.
우리가 잘 아는 위상공간인 실수 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 기저 중 하나[2]는 열린 구간(open interval)들을 모아놓은 집합이다.