열린 집합

거리공간에서 열린 집합(개집합, 開集合, open set)은 어떤 원소에 미소한 움직임이 있어도 다시 그 집합에 속하는 집합을 말한다. 즉, 열린 집합의 모든 원소(점)은 내부점(interior point)이다.

실직선에서

[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ O }[/math]가 열린 구간들의 합집합으로 표현되면, [math]\displaystyle{ O }[/math]를 열린 집합이라고 한다.

거리공간에서

거리공간 [math]\displaystyle{ (X,d) }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ O }[/math]가 열린 공들의 합집합으로 표현되면, [math]\displaystyle{ O }[/math]를 거리함수 [math]\displaystyle{ d }[/math]에 대한 열린 집합이라고 하고, 모든 열린 집합들의 집합을 [math]\displaystyle{ d }[/math]에 의해 생성된 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 위상이라고 한다.

다음 명제가 성립한다.

(1) [math]\displaystyle{ \emptyset, X }[/math]는 열린 집합이다.

(2) [math]\displaystyle{ I }[/math]를 지수집합이라고 하자. [math]\displaystyle{ i\in I }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ O_i\subseteq X }[/math]가 열린 집합이면 그 합집합 [math]\displaystyle{ \bigcup_{i\in I}O_i }[/math]는 열린 집합이다. 즉, 열린 집합의 합집합은 열린 집합이다.

(3) [math]\displaystyle{ O_1.O_2,\cdots, O_n\subseteq X }[/math]이 열린 집합이면 그 교집합 [math]\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^n O_i }[/math]는 열린 집합이다. 즉, 유한 개의 열린 집합의 교집합은 열린 집합이다.

위상공간에서

이와 관련한 내용은 위상공간에서 볼 수 있습니다.

열린 집합은 위상의 원소이다. 사실, 별다른 의미가 있는 문장은 아니고, 위상 공간 자체가 보통 임의의 집합 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] 와 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] 에 정의된 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{O} }[/math] 의 쌍 [math]\displaystyle{ (\mathcal{T}, \mathcal{O}) }[/math] 로 정의되는데, 저 위상 [math]\displaystyle{ \mathcal{O} }[/math] 자체를 보통 모든 열린 집합의 집합으로 정의하기때문에, 문자 그대로 열린 집합은 위상의 원소가 된다. 사실, 위상 공간은 닫힌 집합이나 근방을 이용해서도 열린 집합으로 정의한 위상 공간과 동치로 정의할 수 있다. 거리 공간에서는, 모든 점이 내부점인 집합이 열린 집합이다. 여기서 내부점이란, 어떤 집합의 부분집합이 되는 열린 공이 존재하는 점을 말한다.

정의에 따라 열린 집합이 무조건 닫히지 않은 것은 아니며, 열림과 동시에 닫힌 집합도 있다. [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 \sim \mathbb C }[/math]는 열려 있으면서 닫힌 집합의 예. 사실, 보다 간단한 예시는 공집합과 전체 집합이다. 이 둘은 위상 공간의 정의상, 항상 열린 집합이면서 동시에 닫힌 집합이다. 물론 그 반대로 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 [math]\displaystyle{ \{1/n: \; n\in\mathbb N\} }[/math] 같은 집합도 있다.

성질

• 거리공간에서 근방은 거리가 일정 미만인 집합으로 정의되는데, 이는 열려 있다.
• 여집합이 열린 집합인 집합을 닫힌 집합이라 정의한다.
• 열린 집합의 합집합은 열려 있고, 유한교집합 역시 열려 있다. 하지만 유한하지 않은 교집합은 열려 있지 않을 수도 있다.

상대적으로 열린 집합

위상공간 X와 그 부분집합 S가 있다. 이때 S의 부분집합 A에 대하여, X의 열린 부분집합 U가 존재하여 [math]\displaystyle{ U \cap S = A }[/math]이면 A는 S에 상대적으로 열려 있다(A is open relative to S, or relatively open to S)고 한다. 이는 거리공간 X에서 다음과 동치이다:

[math]\displaystyle{ \forall p \in S, \exists r\gt 0 \text{ s.t. } \left( d(p, q)\lt r \text{ and } q\in S\right) \Rightarrow q \in A. }[/math]