극한

極限. Limit

개요

사전적 의미는 궁극의 한계. 수학에서의 의미에 대입해보면, 무언가가 궁극적으로 다가가는 값을 말한다고 생각할 수 있다. 극한은 미적분학과 해석학의 시작에 해당하는 매우 중요한 개념이고, 이 직관적인 의미 자체는 고대에도 알려져 있었다.

역사

아르키메데스의 원의 넓이를 구하는 방법이나, 제논의 역설 등을 보면 고대 그리스 시대부터 무한이라는 개념은 존재했다는 사실을 알 수 있다. 물론 그 당시에는 이를 수학적으로 엄밀하게 정의할 생각은 하지 않았다. 시간이 흘러 뉴턴이 이 무한이라는 개념을 사용한 극한이라는 개념을 생각하고, 극한을 사용해 미적분학의 기초를 만든다. 뉴턴을 비롯한 다른 학자들은 극한값을 구하는 것에만 치중하였지, 극한에 대한 엄밀한 성질은 생각하지 않았다. 그래서인지 [math]\displaystyle{ \lim }[/math]와 [math]\displaystyle{ \int }[/math]를 교환을 하는 등, 현대의 수학에서는 (일반적으로) 틀린 성질들을 사용하였다. 수학자들이 물리학자들을 까는 이유 푸리에는 푸리에 급수의 균등수렴성을 증명하지 못하였지만 그대로 식을 사용하였고, 칸토어는 이를 연구하다가 소박한 집합론을 만들었다. ...? 이후에 모든 점에서 불연속인 디레클레 함수, 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분이 불가능한 바이어슈트라우스 함수 등의 극한의 직관적인 이해만으로는 제대로 설명할 수 없는 문제점들이 발견되었고, 이에 따라 수학적으로 엄밀한 극한의 정의가 필요하게 되었다. 엄밀한 극한의 정의는 볼차노에 의해 기초가 다져진 뒤, 코시와 바이어슈트라스에 의해 완성되었다. 이 정의가 바로 그 유명한 [math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}\delta }[/math] 논법.

수열의 극한

이와 관련한 내용은 수열의 극한에서 볼 수 있습니다.

수열의 극한은 엡실론-델타와는 살짝 다른 [math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}N }[/math] 논법을 사용한다. 물론 기본적인 골자는 같다.

함수의 극한

이와 관련한 내용은 함수의 극한에서 볼 수 있습니다.

엡실론-델타의 천국. 물론 현대에는 다른 극한의 정의도 존재하지만 엡실론-델타 논법에 비하면 많이 어렵다. 수학적으로 제대로 배우기 위해서는 수열의 극한을 먼저 알아야 하는데, 이는 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꾸어 주는 정리가 있기 때문이다.

범주론적인 극한

이와 관련한 내용은 극한 (범주론)에서 볼 수 있습니다.

범주론에서, 극한은 (category의 object들의) 곱, 당김(pullback), 역극한(inverse limit) 등의 공통적인 universal property를 말하기 위해 만들어진 개념이다. 왜 이름이 limit인지는 정의를 보면 쉽게 알 수 있다. ([math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}\delta }[/math] 논법과 비슷한 면이 있는 것 같기도 하다.)

극한의 정의는 어떤 뿔(cone)인데, 임의의 뿔 [math]\displaystyle{ (N, \psi) }[/math]와 어떤 뿔 [math]\displaystyle{ (L, \varphi) }[/math]에 대하여 둘의 object 사이에 [math]\displaystyle{ N, L, F(X) }[/math] (X는 주어진 category의 임의의 object)로 이루어진 diagram을 commute하는 사상 [math]\displaystyle{ u: \; N \to L }[/math]이 유일하면, 그때의 뿔 [math]\displaystyle{ (L, \varphi) }[/math]를 diagram(covariant functor) [math]\displaystyle{ F }[/math]의 극한이라고 한다.

관련 항목

• 수열의 극한
• 함수의 극한
• 해석학