정의
파일:Dirichlet Popcorn Plot on 0 to 1.png
도마 함수의 그래프
함수 [math]\displaystyle{ f:[0,1]\to\mathbb{R} }[/math]를 다음과 같이 정의하자.
- [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1,&x=0\\ \frac{1}{n},&x=\frac{m}{n},\;m,n\in\mathbb{N}\text{ and }\gcd(m,n)=1\\ 0,&x\not\in\mathbb{Q} \end{cases} }[/math]
이때, [math]\displaystyle{ f }[/math]를 도마 함수(Thomae's function)라고 한다.
성질
- 도마 함수는 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]의 임의의 유리수점에서 불연속이다.
- 증명. 임의의 [math]\displaystyle{ a\in \mathbb{Q} \cap [0,1] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] 위의 무리수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]이 존재해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n =a }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ f(a)\ne 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} f(a_n)=0 }[/math]이므로 도마 함수는 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}\cap [0,1] }[/math]에서 불연속이다.
- 도마 함수는 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]의 임의의 무리수점에서 연속이다.
- 증명. 임의의 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]에 대해, 아르키메데스 성질에 의해 [math]\displaystyle{ \frac{1}{K}\lt \epsilon }[/math]인 [math]\displaystyle{ K\in\mathbb{N} }[/math]이 존재한다. [math]\displaystyle{ b\in (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\cap[0,1] }[/math]과 [math]\displaystyle{ i=1,\dots, K }[/math]에 대해, 부등식 [math]\displaystyle{ \frac{k_i}{i}\lt b\lt \frac{k_i+1}{i} }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ k_i\in\mathbb{Z} }[/math]가 유일하게 존재한다. [math]\displaystyle{ d_i=\min\left\{b-\frac{k_i}{i},\frac{k_i+1}{i}-b \right\} }[/math], [math]\displaystyle{ \delta=\min\{d_1,\dots,d_K\} }[/math]라 하자. 그러면 임의의 [math]\displaystyle{ x\in [0,1] }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ |x-b|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x }[/math]는 무리수이거나 분모가 [math]\displaystyle{ K+1 }[/math] 이상인 유리수이다. [math]\displaystyle{ x }[/math]가 무리수이면 [math]\displaystyle{ |f(x)-f(b)|=0\lt \epsilon }[/math]이고 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 유리수이면 [math]\displaystyle{ |f(x)-f(b)|=|f(x)|\le \frac{1}{K+1}\lt \frac{1}{K}\lt \epsilon }[/math]이므로 어느 경우에서도 [math]\displaystyle{ |f(x)-f(b)|\lt \epsilon }[/math]이다. 따라서 도마 함수는 [math]\displaystyle{ (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cap [0,1] }[/math]에서 연속이다.
- 도마 함수는 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]에서 리만 적분가능하다.
- 도마 함수는 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]의 모든 점에서 미분가능하지 않다.