도마 함수

정의

파일:Dirichlet Popcorn Plot on 0 to 1.png

도마 함수의 그래프

함수 [math]\displaystyle{ f:[0,1]\to\mathbb{R} }[/math]를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 1,&x=0\\ \frac{1}{n},&x=\frac{m}{n},\;m,n\in\mathbb{N}\text{ and }\gcd(m,n)=1\\ 0,&x\not\in\mathbb{Q} \end{cases} }[/math]

이때, [math]\displaystyle{ f }[/math]를 도마 함수(Thomae's function)라고 한다.

성질

• 도마 함수는 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] 내의 임의의 무리수점에서 연속이며, 유리수점에서 불연속이다.
• 도마 함수는 [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]에서 리만 적분가능하다.