무한급수의 수렴판정법

개요

이 문서에서는 무한급수의 수렴판정법에 대해 다룬다. 굉장히 다양한 종류가 있으나 사실 수학과가 아니면 증명은 고사하고 모든 판정법을 배우지도 않는다. 증명에 대해 알고 싶다면 목록 아래의 증명 문단과 세부 문서를 참조하자. 멘탈은 책임 못진다.

수렴판정법 목록

기하 급수 (Geometric Series)

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a^n }[/math]에 대해서, [math]\displaystyle{ \left|a\right|\lt 1 }[/math]이면 수렴, [math]\displaystyle{ \left|a\right| \geq 1 }[/math]이면 발산한다.

무한 등비 급수의 수렴과 발산 배울 때 배우게 된다. 증명은 아래 일반항 판정법을 사용하면 되므로 별로 어렵지 않다.

일반항 판정법 (Limit Term Test)

이와 관련한 내용은 일반항 판정법에서 볼 수 있습니다.

무한급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하면, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0 }[/math]이다.

여기까지는 고등학생도 알고 있다. 증명은 교과서에 나와있지만 다들 무시하고 쓴다.

일반항의 극한이 0이 아니면 무한급수가 수렴하지 않는다는 사실을 알 수 있다. 여기서 아웃된걸 괜히 다른 판정법으로 귀찮게 풀지 말자.

코시 판정법 (Cauchy Criterion)

급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하면 임의의 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}\right|\lt \epsilon, \, \forall n \geq N, \, \forall p \in \mathbb{N} }[/math]를 만족하게 하는 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재한다. 이 명제의 역도 성립한다.

위 명제를 고등학교 수준으로 설명하자면 급수의 앞 몇 항은 수렴/발산에 영향을 끼치지 않는다라고 해석할 수 있다 (완전히 같은건 아니다). 이를 좀 더 엄밀히 표현하자면 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하면 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=N}^{\infty}a_n }[/math]도 수렴한다. 역으로 어떤 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{n=N}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]도 수렴한다.

비교판정법 (Comparison Test)

이와 관련한 내용은 비교판정법에서 볼 수 있습니다.

수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\le a_n \le b_n }[/math]일 때,

• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]이 수렴하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 발산하면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]은 발산한다.

직접 비교 판정법 (Direct Comparison Test, DCT)라고 하며 특수한 경우에 대한 따름 정리로 Limit Comparison Test (LCT)가 존재한다.

따름 정리 1

자연수 [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3, \cdots }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n\gt 0, b_n\gt 0 }[/math]이고 두 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n/b_n\right\}, \left\{b_n/a_n\right\} }[/math]이 bounded되어 있으면 두 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

따름 정리 2

자연수 [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3, \cdots }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n\gt 0, b_n\gt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left(b_n/a_n\right) }[/math]이 양수로서 존재하면 두 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n, \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

위 따름 정리 1의 특수한 경우로, 이게 LCT이다. LCT의 사용 범위를 늘리기 위해 보통 아래 두 정리도 LCT에 포함시킨다.

• 자연수 [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3, \cdots }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n\gt 0, b_n\gt 0, \, \lim_{n \to \infty}\left(b_n/a_n\right) = 0 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]가 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]도 수렴한다.
• 자연수 [math]\displaystyle{ n = 1, 2, 3, \cdots }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n\gt 0, b_n\gt 0, \, \lim_{n \to \infty}\left(b_n/a_n\right) = \infty }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]가 발산하면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]도 발산한다.

비율 판정법 (Ratio Test)

항 [math]\displaystyle{ a_n }[/math]이 양수이고, [math]\displaystyle{ \limsup\left(a_{n+1}/a_n\right) = R, \liminf\left(a_{n+1}/a_n\right) = r }[/math]라 하면,

• [math]\displaystyle{ R\lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ r\gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

[math]\displaystyle{ \limsup }[/math]과 [math]\displaystyle{ \liminf }[/math]를 구하는 것이 어렵기 때문에 보통 아래 특별한 경우에 한한 따름 정리를 사용하게 된다.

따름 정리

[math]\displaystyle{ a_k\gt 0, \forall k \in \mathbb{N}, \, \lim_{k \to \infty}\left(a_{k+1}/a_k\right) = l }[/math]이라 가정하자.

• [math]\displaystyle{ l\lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]는 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ l\gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]는 발산한다.
• [math]\displaystyle{ l=1 }[/math]이면 판정 불가.

멱근 판정법 (Root Test)

[math]\displaystyle{ a_n\gt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt [n] {a_{n}} = R }[/math]일 때

• [math]\displaystyle{ R\lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ R\gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.
• [math]\displaystyle{ R=1 }[/math]이면 판정 불가.

이 판정법을 사용하기 위해서는 구하기 힘든 [math]\displaystyle{ \limsup }[/math]를 구해야 하기 때문에 비율 판정법과 마찬가지로 보통 특수한 경우에 한한 따름 정리를 사용한다.

따름 정리

수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이라고 하자.

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=r }[/math]

로 정의했을 때,

• [math]\displaystyle{ r\lt 1 }[/math]이면 수렴하고,
• [math]\displaystyle{ r\gt 1 }[/math]이면 발산한다.

적분 판정법 (Integral Test)

이와 관련한 내용은 적분판정법에서 볼 수 있습니다.

수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]의 항이 전부 양수이고, 감소하며, [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n = 0 }[/math]이라고 하자. [math]\displaystyle{ \left[1, \infty\right) }[/math]에서 정의된 함수 [math]\displaystyle{ f\left(n\right) = a_n, \forall n \in \mathbb{N} }[/math]가 감소함수이면, 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]와 수열 [math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}f\left(x\right) \, dx }[/math]는 둘 다 수렴하거나 둘 다 발산한다.

P-급수 (P-series)

급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ p\gt 1 }[/math]이면 수렴하고, [math]\displaystyle{ p \leq 1 }[/math]이면 발산한다.

적분 판정법의 특수한 경우. 지수(Power)에 관한 것이기 때문에 P-급수라는 이름이 붙었다.

절대 수렴 (Absolute Convergence)

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right| }[/math]가 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]도 수렴한다.

아래 교대 급수 판정법을 배우기 전에 배우게 된다. 주의할 점은 일반항 판정법과 마찬가지로 위 명제의 역은 성립하지 않는다는 것이다. 또한 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right| }[/math]가 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]는 절대 수렴한다고 하며 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]는 수렴하는데 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right| }[/math]가 수렴하지 않으면 조건 수렴한다고 한다.

교대 급수 판정법 (Alternating Series Test)

이와 관련한 내용은 교대급수판정법에서 볼 수 있습니다.

수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \gt 0 }[/math]이라고 하자. 임의의 자연수 n에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge a_{n+1} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=0 }[/math]이면, 교대급수

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n }[/math]

는 수렴한다.

보통 AST라 줄여 부른다.

디리클레 판정법

수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left\{b_n\right\} }[/math]이 단조감소하고 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}b_n=0 }[/math]이며, 양수 M이 존재해 임의의 자연수 n에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\sum_{i=1}^n a_i\right|\le M }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n }[/math]은 수렴한다.

증명

위 판정법들에 대한 증명을 소개한다. 여기에 없는 증명은 각 판정법 문서에 존재하므로 그쪽을 참고. 많이 어렵진 않으나 수학과가 아니면 이해하기 힘드므로 관심없으면 넘어가도록 하자.

코시 판정법

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]가 수렴한다 가정하자. 그럼 부분합 [math]\displaystyle{ S_n }[/math]는 코시 수열이여야 한다. 즉, 어떤 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|S_m-S_n\right| \lt \epsilon, \, \forall n,m \geq N }[/math]가 성립한다. 이것은 곧 Cauchy criterion이 성립함을 의미한다.

역으로 Cauchy criterion이 성립한다 가정하자. 그럼 부분합 [math]\displaystyle{ S_n }[/math]이 코시 수열임을 의미하고, 이것은 곧 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]이 성립함을 의미한다.

절대 수렴

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_k\right| }[/math]가 수렴하면 코시 판정법에 의해 임의의 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right|\right| = \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right| \lt \epsilon, \, \forall n \geq N, \, p \in N }[/math]를 만족하게 하는 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재한다. [math]\displaystyle{ \left|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots a_{n+p} \right| \leq \left|a_{n+1}\right| + \left|a_{n+2}\right| + \cdots \left|a_{n+p}\right| }[/math]이므로 또 다시 코시 수열에 의해 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}a_k }[/math]도 수렴한다.

외부 링크

• 제11강 급수의 수렴판정