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** <math>|f(z)|</math>가 해석적이다. | ** <math>|f(z)|</math>가 해석적이다. | ||
** <math>w=f(z)</math>의 치역은 직선의 일부이다. | ** <math>w=f(z)</math>의 치역은 직선의 일부이다. | ||
{{글 숨김|제목=Proof|1= | |||
* <math>\operatorname{Re}f(z)</math>가 상수함수라면, <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>로 표현할 때 <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0</math>이다. 그러면 [[코시-리만 방정식]]에 의해 <math>\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0</math>을 얻으므로 <math>f'(z)=0</math>이고, 따라서 <math>f(z)</math>는 <math>D</math>에서 상수함수이다. | |||
* <math>|f(z)|</math>가 상수함수라고 가정하자. 그러면 <math>|f(z)|^2=u^2+v^2</math>도 상수함수이므로 다음 식이 성립한다.<br /> <math>\begin{align}u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}&=0\\u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial v}{\partial y}&=0\end{align}</math><br />이때, 코시-리만 방정식에 의해<br /> <math>\begin{align}u\frac{\partial u}{\partial x}-v\frac{\partial u}{\partial y}&=0\\u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial u}{\partial x}&=0\end{align}</math><br />이다. 이때 <math>u^2+v^2=0</math>이면 <math>u=v=0</math>이고, <math>u^2+v^2\ne 0</math>이면 아까 유도한 <math>\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}</math>에 대한 연립일차방정식의 해는 <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0</math>으로 유일하다. 그러면 <math>\operatorname{Re} f(z)</math>가 상수함수이므로 원하는 결론을 얻는다. | |||
* <math>f(z)</math>가 <math>D</math>에서 실수라면, <math>v=0</math>이고 따라서 <math>\operatorname{Im}f(z)</math>가 상수함수이므로 원하는 결론을 얻는다. | |||
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* 유계인 전해석함수 <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>는 상수함수이다. ([[리우빌의 정리 (복소해석학)|리우빌의 정리]]) | * 유계인 전해석함수 <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>는 상수함수이다. ([[리우빌의 정리 (복소해석학)|리우빌의 정리]]) | ||
* 복소함수 <math>f(z)</math>가 열린 연결집합 <math>D</math>에서 해석적이고 <math>|f(z)|</math>가 <math>z=z_0\in D</math>에서 최댓값을 가지면, <math>f(z)</math>는 상수함수이다. ([[최대절댓값정리]]) | * 복소함수 <math>f(z)</math>가 열린 연결집합 <math>D</math>에서 해석적이고 <math>|f(z)|</math>가 <math>z=z_0\in D</math>에서 최댓값을 가지면, <math>f(z)</math>는 상수함수이다. ([[최대절댓값정리]]) |
2016년 4월 28일 (목) 15:46 판
정의
함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 상수함수(constant function)라고 한다.
예시
- [math]\displaystyle{ X=\{1,2,3\} }[/math], [math]\displaystyle{ Y=\{a,b,c\} }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 원소를 각각 [math]\displaystyle{ 1 \mapsto a }[/math], [math]\displaystyle{ 2\mapsto a }[/math], [math]\displaystyle{ 3\mapsto a }[/math]로 대응시키는 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]를 정의하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
- [math]\displaystyle{ X=\{-1,1\}\subset\mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ Y=\mathbb{R} }[/math]일 때, 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=|x| }[/math]로 정의하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
- 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=\cos^2 x + \sin^2 x }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다. (삼각함수)
- 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]을 [math]\displaystyle{ f(x)=\int_0^x 0 dx }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
- 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=x^p-x }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다. (페르마의 소정리)
성질
실수계에서
- 상수함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]은 미분가능하고 도함수는 [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]이다.
Proof 도함수의 정의에 의해,
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- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]의 도함수가 [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
Proof 평균값 정리에 의해, 임의의 [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in [a,b] }[/math]에 대해
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복소공간에서
- 복소함수 [math]\displaystyle{ f:D\to \mathbb{C} }[/math]가 열린 연결집합 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 해석적이고 임의의 [math]\displaystyle{ z\in D }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f'(z)=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 상수함수이다.
- 열린 연결집합 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 해석적인 함수 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 다음 조건 중 하나를 만족할 때 상수함수이다. 많기도 하지...
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} f(z) }[/math]가 상수함수이다.
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Im} f(z) }[/math]가 상수함수이다.
- [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]가 상수함수이다.
- [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]가 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 실수이다.
- [math]\displaystyle{ \overline{f(z)} }[/math]가 해석적이다.
- [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]가 해석적이다.
- [math]\displaystyle{ w=f(z) }[/math]의 치역은 직선의 일부이다.
Proof
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- 유계인 전해석함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} }[/math]는 상수함수이다. (리우빌의 정리)
- 복소함수 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]가 열린 연결집합 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]가 [math]\displaystyle{ z=z_0\in D }[/math]에서 최댓값을 가지면, [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 상수함수이다. (최대절댓값정리)