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== 성질 ==
== 성질 ==
* 상수함수 <math>f:[a,b]\to\mathbb{R}</math>은 미분가능하고 도함수는 <math>f'(x)=0</math>이다.
* 상수함수 <math>f:[a,b]\to\mathbb{R}</math>은 미분가능하고 도함수는 <math>f'(x)=0</math>이다.
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이므로 원하는 결론을 얻는다.
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* <math>[a,b]</math>에서 연속이고 <math>(a,b)</math>에서 미분가능한 함수 <math>f:[a,b]\to\mathbb{R}</math>의 도함수가 <math>f'(x)=0</math>이면 <math>f</math>는 상수함수이다.
* <math>[a,b]</math>에서 연속이고 <math>(a,b)</math>에서 미분가능한 함수 <math>f:[a,b]\to\mathbb{R}</math>의 도함수가 <math>f'(x)=0</math>이면 <math>f</math>는 상수함수이다.
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인 <math>c\in (a,b)</math>가 존재한다. 따라서 <math>f(x_1)=f(x_2)</math>이므로 원하는 결론을 얻는다.
}}
* 복소함수 <math>f</math>가 열린 연결집합 <math>D</math>에서 해석적이고 임의의 <math>z\in D</math>에 대해 <math>f'(z)=0</math>이면 <math>f(z)</math>는 상수함수이다.
* 복소함수 <math>f</math>가 열린 연결집합 <math>D</math>에서 해석적이고 임의의 <math>z\in D</math>에 대해 <math>f'(z)=0</math>이면 <math>f(z)</math>는 상수함수이다.
== 같이 보기 ==
* [[상수]]

2016년 4월 20일 (수) 21:52 판

틀:토막글 틀:학술

정의

함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 상수함수(constant function)라고 한다.

예시

  • [math]\displaystyle{ X=\{1,2,3\} }[/math], [math]\displaystyle{ Y=\{a,b,c\} }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 원소를 각각 [math]\displaystyle{ 1 \mapsto a }[/math], [math]\displaystyle{ 2\mapsto a }[/math], [math]\displaystyle{ 3\mapsto a }[/math]로 대응시키는 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]를 정의하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
  • [math]\displaystyle{ X=\{-1,1\}\subset\mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ Y=\mathbb{R} }[/math]일 때, 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=|x| }[/math]로 정의하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
  • 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=\cos^2 x + \sin^2 x }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
  • 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]을 [math]\displaystyle{ f(x)=\int_0^x 0 dx }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.

성질

  • 상수함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]은 미분가능하고 도함수는 [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]이다.
Proof
도함수의 정의에 의해,
[math]\displaystyle{ \begin{align}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}\\ &=0\end{align} }[/math]
이므로 원하는 결론을 얻는다.
  • [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]의 도함수가 [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
Proof
평균값 정리에 의해, 임의의 [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in [a,b] }[/math]에 대해
[math]\displaystyle{ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}=f'(c)=0 }[/math]
인 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재한다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.
  • 복소함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 열린 연결집합 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 해석적이고 임의의 [math]\displaystyle{ z\in D }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f'(z)=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 상수함수이다.

같이 보기