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'''기함수'''는 임의의 실수(혹은 복소수) | '''기함수'''는 정의역 내의 임의의 실수(혹은 복소수) \(x\)에 대해서 <math>f(x) = - f(-x)</math>를 만족하는 함수 <math> f:D \rightarrow\mathbb{C}</math>를 의미한다. | ||
== 기함수의 성질 == | == 기함수의 성질 == | ||
\(f,\,g\)가 기함수, \(h\)가 [[우함수]]일 때 | |||
f, | *<math>f\pm g</math>는 기함수이다. | ||
*:<math>\left(f+g\right)\left(-x\right)=f\left(-x\right)+g\left(-x\right)=-f\left(x\right)-g\left(x\right)=-\left(f+g\right)\left(x\right)</math> | |||
* <math> f | *<math>f\cdot g</math>는 우함수, <math>f\cdot h</math>는 기함수이다. | ||
* <math> f \cdot g </math>는 우함수, <math> f \cdot h </math>는 기함수이다. | *:<math>\left(fg\right)\left(-x\right)=f\left(-x\right)g\left(-x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)=\left(fg\right)\left(x\right)</math> | ||
* <math> f / g </math>는 우함수, <math> f /h , h/f </math>는 기함수이다. | *:<math>\left(fh\right)\left(-x\right)=f\left(-x\right)h\left(-x\right)=-f\left(x\right)h\left(x\right)=-\left(fh\right)\left(x\right)</math> | ||
* 도함수 <math> f \prime </math>은 우함수이다. | *<math>1/f</math>는 기함수이다. | ||
*:<math>\left(1/f\right)\left(-x\right)=1/f\left(-x\right)=-1/f\left(x\right)=-\left(1/f\right)\left(x\right)</math> | |||
*<math>f/g</math>는 우함수, <math>f/h,\,h/f</math>는 기함수이다. | |||
*:위의 두 성질을 사용하면 증명된다. | |||
* 도함수 <math>f\prime</math>은 우함수이다. | |||
*:<math>f\left(x\right)=-f\left(-x\right)</math>의 양변을 [[미분]]하면, <math>f'\left(x\right)=f'\left(-x\right)</math>. | |||
*<math>\int_{-a}^af\left(x\right)\mathrm{d}x=0</math> | |||
*:<math>\int_{-a}^0f\left(x\right)\mathrm{d}x=-\int_0^{-a}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_0^{-a}f\left(-x\right)\mathrm{d}x</math>에서, <math>-x=t</math>로 치환하면, <math>\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t</math>이고, 적분 범위는 0에서 \(a\)까지 이다. 따라서, <math>\int_0^{-a}f\left(-x\right)\mathrm{d}x=-\int_0^af\left(t\right)\mathrm{d}t=-\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x</math>이고, 곧 <math>\int_{-a}^af\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_{-a}^0f\left(x\right)\mathrm{d}x+\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x=-\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x+\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x=0</math> | |||
고등학교 수학 수준에서 보면 기함수는 좌표평면상에서 원점에 대하여 대칭이다. | 고등학교 수학 수준에서 보면 기함수는 좌표평면상에서 원점에 대하여 대칭이다. | ||
== 기함수의 예 == | == 기함수의 예 == | ||
*홀수 차수인 [[다항함수]]<ref>여기서 기함수라는 말이 유래되었다.</ref>와 그 역수를 함수값으로 하는 분수 함수. | |||
* 홀수 차수인 [[다항함수]]<ref>여기서 기함수라는 말이 유래되었다. </ref>와 그 역수를 함수값으로 하는 분수 함수. | *[[삼각함수]] 중 <math>\sin x,\,\tan x,\,\cot x,\,\csc x</math>가 기함수이다. | ||
* [[삼각함수]] 중 sin x, tan x, cot x, | |||
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2016년 1월 21일 (목) 05:13 판
Odd Function
기함수는 정의역 내의 임의의 실수(혹은 복소수) \(x\)에 대해서 [math]\displaystyle{ f(x) = - f(-x) }[/math]를 만족하는 함수 [math]\displaystyle{ f:D \rightarrow\mathbb{C} }[/math]를 의미한다.
기함수의 성질
\(f,\,g\)가 기함수, \(h\)가 우함수일 때
- [math]\displaystyle{ f\pm g }[/math]는 기함수이다.
- [math]\displaystyle{ \left(f+g\right)\left(-x\right)=f\left(-x\right)+g\left(-x\right)=-f\left(x\right)-g\left(x\right)=-\left(f+g\right)\left(x\right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ f\cdot g }[/math]는 우함수, [math]\displaystyle{ f\cdot h }[/math]는 기함수이다.
- [math]\displaystyle{ \left(fg\right)\left(-x\right)=f\left(-x\right)g\left(-x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)=\left(fg\right)\left(x\right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(fh\right)\left(-x\right)=f\left(-x\right)h\left(-x\right)=-f\left(x\right)h\left(x\right)=-\left(fh\right)\left(x\right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ 1/f }[/math]는 기함수이다.
- [math]\displaystyle{ \left(1/f\right)\left(-x\right)=1/f\left(-x\right)=-1/f\left(x\right)=-\left(1/f\right)\left(x\right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ f/g }[/math]는 우함수, [math]\displaystyle{ f/h,\,h/f }[/math]는 기함수이다.
- 위의 두 성질을 사용하면 증명된다.
- 도함수 [math]\displaystyle{ f\prime }[/math]은 우함수이다.
- [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=-f\left(-x\right) }[/math]의 양변을 미분하면, [math]\displaystyle{ f'\left(x\right)=f'\left(-x\right) }[/math].
- [math]\displaystyle{ \int_{-a}^af\left(x\right)\mathrm{d}x=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_{-a}^0f\left(x\right)\mathrm{d}x=-\int_0^{-a}f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_0^{-a}f\left(-x\right)\mathrm{d}x }[/math]에서, [math]\displaystyle{ -x=t }[/math]로 치환하면, [math]\displaystyle{ \mathrm{d}x=-\mathrm{d}t }[/math]이고, 적분 범위는 0에서 \(a\)까지 이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \int_0^{-a}f\left(-x\right)\mathrm{d}x=-\int_0^af\left(t\right)\mathrm{d}t=-\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ \int_{-a}^af\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_{-a}^0f\left(x\right)\mathrm{d}x+\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x=-\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x+\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x=0 }[/math]
고등학교 수학 수준에서 보면 기함수는 좌표평면상에서 원점에 대하여 대칭이다.
기함수의 예
- 홀수 차수인 다항함수[1]와 그 역수를 함수값으로 하는 분수 함수.
- 삼각함수 중 [math]\displaystyle{ \sin x,\,\tan x,\,\cot x,\,\csc x }[/math]가 기함수이다.
각주
- ↑ 여기서 기함수라는 말이 유래되었다.