다항함수

다항함수(多項函數, Polyonomial Function)는 함수값이 정의역의 원소에 대해 다항식 형태로 정의되는 함수를 의미한다.

다항식과 다항함수

환(Ring) R에 대해서 [math]\displaystyle{ f: R \rightarrow R }[/math]가 다항함수가 되는 조건은 [math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{i=0}^{n} {a_i x^i } }[/math] 형태로 표현되는 것이다. 여기서 오른쪽의 항[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} {a_i x^i } }[/math]는 x에 관한 다항식이 된다.

다항함수와 관련된 용어

• 차수(次數, degree) - 다항함수를 표현하는 다항식의 차수와 동일하다. 만일 환 R, [math]\displaystyle{ f: R \rightarrow R }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{i=0}^{n} {a_i x^i } }[/math]가 성립되면 [math]\displaystyle{ a_n }[/math]이 0이 아니라는 조건 하에서 f(x)의 차수는 n이 된다.
• 변수(變數, Variable) - 변수가 여러 개인 다항식에 대해서도 함수를 정의할 수 있다. 예를 들면 [math]\displaystyle{ f: R^3 \rightarrow R }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ f(x,y,z) = x^3 + y^3 +z^3 -3xyz }[/math]는 x, y, z에 대한 3변수 다항함수가 된다.

기본적 성질

• n차원 다항함수는 n+1번 미분할 경우 0이 된다. 특히 복소수체에서 정의된 다항함수는 해석적 함수(Analytic function)가 되며, 완비(Complete)된 위상공간에서 일반위상(General Topology)에 대해 연속함수가 된다.
• 위의 성질은 변수가 2개 이상인 다변수 함수일 때에도 성립하며, 특히 특정 변수에 대해 유한번 편미분할 때 0이 된다.

다항함수의 해

체 [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]에 대해서 다항식 f(x)가 [math]\displaystyle{ f(x) = \prod_{i=1}^{r} f_i (x) }[/math] 형태로 인수분해될 때(여기서 [math]\displaystyle{ f_i (x) }[/math]는 체 [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]에 대해 기약다항식(irreducible)) 함수 [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math]는 체 [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f_i (x) =0 }[/math]를 만족하는 값이 된다. 당연히 [math]\displaystyle{ f_i (x) }[/math]가 일차식일 때에만 체 [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] 위에 해를 갖게 된다.

관련 문서

• 초월함수
• 다항식