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그렇다면 무한차원 벡터공간도 존재할 수 있는지 의문을 갖게 된다. 즉 한 벡터를 나타내는 데 정보가 무한히 많이 필요하다는 건데… 당연히 가능하다. 예를 들어 <math>\mathbb{Q}</math>벡터공간 <math>\mathbb{R}</math>이라든가, 함수공간 <math>\mathbb{R}^\mathbb{R} = \left\{ f|f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \right\}</math>만 생각해 봐도 그렇다. 이런 공간의 기저를 찾기란… 시도하지 않는 것을 권장한다. 다만 [[선택공리]]가 있으면 존재성은 보장할 수 있다. | 그렇다면 무한차원 벡터공간도 존재할 수 있는지 의문을 갖게 된다. 즉 한 벡터를 나타내는 데 정보가 무한히 많이 필요하다는 건데… 당연히 가능하다. 예를 들어 <math>\mathbb{Q}</math>벡터공간 <math>\mathbb{R}</math>이라든가, 함수공간 <math>\mathbb{R}^\mathbb{R} = \left\{ f|f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \right\}</math>만 생각해 봐도 그렇다. 이런 공간의 기저를 찾기란… 시도하지 않는 것을 권장한다. 다만 [[선택공리]]가 있으면 존재성은 보장할 수 있다. | ||
대학생들이 들어볼 수 있는 가장 유명하고 기초적인 기저는 바로 | 대학생들이 들어볼 수 있는 가장 유명하고 기초적인 기저는 바로 [[삼각함수]]이다. Cos 파와 Sin 파는 서로 직교성을 지니는데 이 개념을 이용해 두 함수로 다른 파동을 표현할 수가 있다. 그게 바로 [[푸리에 변환]]. | ||
=== 위상수학에서 === | === 위상수학에서 === |
2015년 6월 4일 (목) 18:29 판
기저'귀'
기저(basis)
단어
어떤 것의 바닥 또는 기초가 되는 부분.
반의어: 표면
수학에서 정의되는 개념
선형대수학에서
정의
벡터공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 원소들 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n }[/math]이 선형독립이고 [math]\displaystyle{ V }[/math]를 생성할 때, [math]\displaystyle{ \mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저(basis)라고 한다. 모든 벡터공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다.
차원
[math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저의 개수를 차원(dimension)이라 하고, [math]\displaystyle{ \dim V }[/math]로 나타낸다.
설명
기저는 서로 직교하는 벡터, 함수를 뜻하고[1], 차원은 직관적으로 그 공간에 정보가 몇 개 있느냐를 말한다. 가령 xy평면에서 x축과 y축이 바로 기저가 된다(정확히는 x축 방향 단위벡터와 y축 방향 단위벡터). xy 평면 위의 모든 점은 x좌표와 y좌표 두 개의 숫자만으로 다 표현되고, 또 유일하게 표현된다. 만일 다른 정보를 만들 수 있더라도(예를 들어 원점으로부터의 거리), 이는 x좌표와 y좌표로 나타낼 수 있다. 즉 [math]\displaystyle{ r = \sqrt{x^2 + y^2} }[/math].
그렇다면 무한차원 벡터공간도 존재할 수 있는지 의문을 갖게 된다. 즉 한 벡터를 나타내는 데 정보가 무한히 많이 필요하다는 건데… 당연히 가능하다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]벡터공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]이라든가, 함수공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^\mathbb{R} = \left\{ f|f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \right\} }[/math]만 생각해 봐도 그렇다. 이런 공간의 기저를 찾기란… 시도하지 않는 것을 권장한다. 다만 선택공리가 있으면 존재성은 보장할 수 있다.
대학생들이 들어볼 수 있는 가장 유명하고 기초적인 기저는 바로 삼각함수이다. Cos 파와 Sin 파는 서로 직교성을 지니는데 이 개념을 이용해 두 함수로 다른 파동을 표현할 수가 있다. 그게 바로 푸리에 변환.
위상수학에서
어떤 위상공간에서 원소가 열린집합들인 집합 [math]\displaystyle{ B }[/math]가 모든 열린집합이 [math]\displaystyle{ B }[/math]에 있는 열린집합들의 합집합[2]이나 유한개의 교집합으로 표현가능할 때 기저(base, basis)라고 부른다.
우리가 잘 아는 위상공간인 실수 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 기저 중 하나[3]는 열린 구간(open interval)들을 모아놓은 집합이다.