소아이디얼

정의

가환환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 아이디얼 [math]\displaystyle{ P }[/math]가

• [math]\displaystyle{ P\ne R }[/math]
• 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in R }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ ab\in P }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a\in P }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ b\in P }[/math]

를 만족하면 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 소아이디얼(prime ideal)이라 한다.

예시

• [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]의 아이디얼 [math]\displaystyle{ (p) }[/math]는 [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수일 때 소아이디얼이다.
• 항등원이 있는 가환환의 모든 극대아이디얼은 소아이디얼이다.

성질

• [math]\displaystyle{ P }[/math]가 소아이디얼일 필요충분조건은 몫환 [math]\displaystyle{ R/P }[/math]가 정역인 것이다.