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'''절댓값'''(絶對-, absolute value)은 [[실수]]나 [[복소수]] (또는 [[사원수]])에 대하여, 수직선이나 복소평면의 [[원점]]에서부터 그 수까지의 거리로, [[ | == 개요 == | ||
'''절댓값'''(絶對-, absolute value)은 [[실수]]나 [[복소수]] (또는 [[사원수]])에 대하여, 수직선이나 복소평면의 [[원점]]에서부터 그 수까지의 거리로, [[노름 (수학)|놈]]의 특수한 경우이다. 기호로 <math>|x|</math>로 나타내며, 프로그래밍 언어 등에서는 absolute의 앞 세 글자를 따 abs(x)라고 쓴다. | |||
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으로 정의한다. 절댓값은 [[완전 곱셈적 함수]]이며, [[거리함수]]의 일종이므로 [[삼각부등식]]이 성립하는 등의 성질을 만족한다. | 으로 정의한다. 절댓값은 [[완전 곱셈적 함수]]이며, [[거리함수]]의 일종이므로 [[삼각부등식]]이 성립하는 등의 성질을 만족한다. | ||
* <math>|x| = \sqrt{x^2}</math> (거듭제곱으로의 표현) | *<math>|x| = \sqrt{x^2}</math> (거듭제곱으로의 표현) | ||
* <math>|x|=x/\operatorname{sgn}(x) \quad \textrm{if }x\ne 0</math> ([[부호함수]]로의 표현) | *<math>|x|=x/\operatorname{sgn}(x) \quad \textrm{if }x\ne 0</math> ([[부호함수]]로의 표현) | ||
* <math>|x| \ge 0</math> | *<math>|x| \ge 0</math> | ||
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* <math>|xy| = |x||y|</math> (완전 곱셈적) | *<math>|xy| = |x||y|</math> (완전 곱셈적) | ||
* <math>|x+y| \le |x| + |y|</math> (삼각부등식 1) | *<math>|x+y| \le |x| + |y|</math> ([[삼각부등식]] 1) | ||
* <math>\left||x|\right| = |x|</math> (멱등성) | *<math>\left||x|\right| = |x|</math> (멱등성) | ||
* <math>|-x| = |x|</math> (우함수) | *<math>|-x| = |x|</math> (우함수) | ||
* <math>|x-y| = 0 \Leftrightarrow x=y</math> | *<math>|x-y| = 0 \Leftrightarrow x=y</math> | ||
* <math>|x-y| \le |x-z| + |z-y|</math> (삼각부등식 2) | *<math>|x-y| \le |x-z| + |z-y|</math> (삼각부등식 2) | ||
* <math>|x-y| \ge \left||x|-|y|\right|</math> (삼각부등식 3) | *<math>|x-y| \ge \left||x|-|y|\right|</math> (삼각부등식 3) | ||
* <math>|x| \le y \Leftrightarrow -y \le x \le y</math> | *<math>|x| \le y \Leftrightarrow -y \le x \le y</math> | ||
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== 복소수 == | == 복소수 == | ||
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== 절댓값과 그래프 == | == 절댓값과 그래프 == | ||
절댓값이 포함된 그래프를 그릴 때는, 절댓값의 변수가 양수일 경우와 음수일 경우, 두 가지로 나눈 뒤 각각의 그래프를 그려주면 된다. 대체로 뾰족하게 꺾이는 점이 있거나 아니면 상수함수인 부분이 존재하거나 한다. 만약 함수가 <math>y=\left|f\left(x\right)\right|</math>의 형태라면, 먼저 <math>y=f\left(x\right)</math>의 그래프를 그려준 뒤, <math>x</math>축 아래에 해당하는 부분을 접어 올려주면 된다. <math>y=f\left(\left|x\right|\right)</math>의 경우는 함수가 우함수이기 때문에 양의 <math>x</math>축 부분만 그려준 뒤 <math>y</math>축에 대칭시켜 주자. <math>\left|y\right|=f\left(\left|x\right|\right)</math>의 경우는 <math>x</math>축, <math>y</math>축에 모두 대칭이다. | |||
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* [[노름 (수학)]] | *[[노름 (수학)]] | ||
* [[거리공간]] | *[[거리공간]] | ||
2015년 8월 20일 (목) 02:24 판
개요
절댓값(絶對-, absolute value)은 실수나 복소수 (또는 사원수)에 대하여, 수직선이나 복소평면의 원점에서부터 그 수까지의 거리로, 놈의 특수한 경우이다. 기호로 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]로 나타내며, 프로그래밍 언어 등에서는 absolute의 앞 세 글자를 따 abs(x)라고 쓴다.
실수
실수 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대하여, 절댓값 [math]\displaystyle{ |x| }[/math]을
- [math]\displaystyle{ |x| := \begin{cases} x, & \textrm {if } x \ge 0 \\ -x, & \textrm{if } x \lt 0. \end{cases} }[/math]
으로 정의한다. 절댓값은 완전 곱셈적 함수이며, 거리함수의 일종이므로 삼각부등식이 성립하는 등의 성질을 만족한다.
- [math]\displaystyle{ |x| = \sqrt{x^2} }[/math] (거듭제곱으로의 표현)
- [math]\displaystyle{ |x|=x/\operatorname{sgn}(x) \quad \textrm{if }x\ne 0 }[/math] (부호함수로의 표현)
- [math]\displaystyle{ |x| \ge 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ |xy| = |x||y| }[/math] (완전 곱셈적)
- [math]\displaystyle{ |x+y| \le |x| + |y| }[/math] (삼각부등식 1)
- [math]\displaystyle{ \left||x|\right| = |x| }[/math] (멱등성)
- [math]\displaystyle{ |-x| = |x| }[/math] (우함수)
- [math]\displaystyle{ |x-y| = 0 \Leftrightarrow x=y }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x-y| \le |x-z| + |z-y| }[/math] (삼각부등식 2)
- [math]\displaystyle{ |x-y| \ge \left||x|-|y|\right| }[/math] (삼각부등식 3)
- [math]\displaystyle{ |x| \le y \Leftrightarrow -y \le x \le y }[/math]
- [math]\displaystyle{ |x| \ge y \Leftrightarrow x \le -y\le 0\ \textrm{ or }0 \le y \le x }[/math]
복소수
복소수 [math]\displaystyle{ z=\Re z + i\Im z }[/math]에 대하여
- [math]\displaystyle{ |z| := z / \operatorname{sgn} z =\sqrt{(\Re z)^2 + (\Im z)^2} }[/math]
으로 정의한다. 실수에서의 성질 중, 순서 관계가 있는 것은 사용하지 못한다.
절댓값과 그래프
절댓값이 포함된 그래프를 그릴 때는, 절댓값의 변수가 양수일 경우와 음수일 경우, 두 가지로 나눈 뒤 각각의 그래프를 그려주면 된다. 대체로 뾰족하게 꺾이는 점이 있거나 아니면 상수함수인 부분이 존재하거나 한다. 만약 함수가 [math]\displaystyle{ y=\left|f\left(x\right)\right| }[/math]의 형태라면, 먼저 [math]\displaystyle{ y=f\left(x\right) }[/math]의 그래프를 그려준 뒤, [math]\displaystyle{ x }[/math]축 아래에 해당하는 부분을 접어 올려주면 된다. [math]\displaystyle{ y=f\left(\left|x\right|\right) }[/math]의 경우는 함수가 우함수이기 때문에 양의 [math]\displaystyle{ x }[/math]축 부분만 그려준 뒤 [math]\displaystyle{ y }[/math]축에 대칭시켜 주자. [math]\displaystyle{ \left|y\right|=f\left(\left|x\right|\right) }[/math]의 경우는 [math]\displaystyle{ x }[/math]축, [math]\displaystyle{ y }[/math]축에 모두 대칭이다.