P-adic Number

보통 실수는 0.12341289473248...같이 소숫점 아래로 이어지지 ...4859285 이렇게 왼쪽으로 나아가지 않는다. 그렇다면 이렇게 왼쪽으로 나아가는 수가 있을까?? p가 소수고 p진법으로 표현할 수 있으면 가능하다!! p가 소수여야 하는 이유는 소수가 아니라면 0이 아닌 어떤 숫자가 역원이 존재하지 않을 수도 있어서.

처음보면 생소할 수 있는 이 수체계는 정수론에서 아주 다방면으로 활용되는 쓸모있는 수체계이다.

간단 definition

우리는 실수를 정의할 때 유리수에서 점을 하나씩 채운다. 그리고 그 채우는 방법은 Cauchy sequence를 이용하거나, least upper bound property를 이용하든가. least upper property는 ordered field에서만 얘기할 수 있으므로 Cauchy sequence를 이용하자.

[math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]에 norm이란 것을 준다. norm은 k가 field일 때

• [math]\displaystyle{ \|\cdot\|:k \to \mathbb{R}^{+}\cup \{0\}=\{x:x\ge 0\} }[/math]인 함수
• 모든 [math]\displaystyle{ x,y\in k }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ |xy|=|x||y| }[/math]
• 모든 [math]\displaystyle{ x,y,z\in k }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ |x+y|\le |x|+|y| }[/math]

를 만족하는 것을 뜻한다. 그리고 k 안의 sequence [math]\displaystyle{ \{x_n\} }[/math]가 Cauchy sequence라는 것을

• 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 N이 있어서 [math]\displaystyle{ \|x_m-x_n\|\lt \varepsilon }[/math] for all [math]\displaystyle{ m,n\ge N }[/math]

을 만족하는 sequence를 말한다고 하자. 그리고 두 Cauchy sequence [math]\displaystyle{ \{x_n\},\{y_n\} }[/math]이 서로 equivalent하다는 것을

• 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 N이 있어서 [math]\displaystyle{ \|x_n-y_n\|\lt \varepsilon }[/math] for all [math]\displaystyle{ n\ge N }[/math]

이라는 것이다. 이는 좀 더 강력해 보이는 조건

• 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 N이 있어서 [math]\displaystyle{ \|x_m-y_n\|\lt \varepsilon }[/math] for all [math]\displaystyle{ m,n\ge N }[/math]

하고 동치인데, converse는 자명하고 나머지는

[math]\displaystyle{ |x_m-x_n|\lt \frac{\varepsilon}{2},|x_n-y_n|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]

이 되도록 하는 자연수들을 각각 [math]\displaystyle{ N_1,N_2 }[/math]라고 하고 [math]\displaystyle{ \max\{N_1,N_2\} }[/math]를 생각하자.

우리는 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]로 돌아오자. 어떤 숫자가 p진법으로 표현했을 때 자릿수가 어떻게 되는지 표현할 수 있을까?? 대충

[math]\displaystyle{ x=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}+\cdots+a_ip^i }[/math]

이라고 어떤 자연수를 p진법으로 표현했다고 하자. 그렇다면

[math]\displaystyle{ |x|_p=p^{-i} }[/math]

라고 정의하자. 이는 어디에서 자릿수가 끝나는지 알려주는 표식 역할을 한다. 그리고 더 일반적으로 [math]\displaystyle{ x=p^i\frac{a}{b} }[/math]꼴이고 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]모두 p하고 서로소라고 하자. 그렇다면

[math]\displaystyle{ |x|_p=p^{-i} }[/math]

라고 정의하자. 그렇다면 이는 norm의 조건을 모두 만족한다. 그리고 더 강력한

[math]\displaystyle{ |x+y|_p\le \max\{|x|_p,|y|_p\} }[/math] (이러한 성질을 만족하는 norm을 nonarchimedean norm 이라고 한다.)

도 만족한다. 그리고 우리는 실수를 정의하듯이 이렇게 정의하자.

[math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_p=\{\{x_n\}|x_n \text{ is Cauchy sequence on }\mathbb{Q}\text{ with respect to norm }\|\cdot\|_p\}/\sim }[/math]

라고 하자. 여기에서 ~는 위에서 정의한 Cauchy sequence의 equivalent다. 그렇다면 이것은 잘 정의된 field가 된다. 이것의 원소를 p-adic number라고 하자. 그리고

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p=\{x\in \mathbb{Q}_p||x|_p\le 1\} }[/math]

이라고 정의하자. 이것의 원소를 p-adic integer라고 하자.

다른 definition

이렇게 정의할 수도 있다. n이 자연수라면

[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} }[/math]

를

[math]\displaystyle{ x+p^{n+1}\mathbb{Z}\longmapsto x+p^n\mathbb{Z} }[/math]

로 정의하자. 이는 natural projection인데, 이는 자연스럽게 surjective homomorphism이 되고, [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p=\varprojlim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} }[/math]

라고 정의하자. 이것은 integral domain이 된다. 그리고 [math]\displaystyle{ \Bbb{Q}_p }[/math]는 이것의 field of quotient라고 정의하자. 이것은 대수학에서 더욱 많이 쓰는 정의다.

정수론에서 쓰임

정수론에서 볼 때 p-adic number는 소수 p에 대한 정보를 요란한 방법으로 알려주는 숫자다. 이것을 쓰는 결정적 이유는 이것에 topology를 줄 수 있기 때문이다!! Hensel's lemma는 이것에 대해서 아는 것은 mod p로 어떤 정수를 나눴을 때 나머지를 아는 것과 같음을 알려주고, p-adic numbers 위엔 topology. 특히 적분을 정의할 수 있다. 게다가 여기에서 정의되는 적분은 보통 실수에서 정의되는 적분보다 계산도 쉽다. 이는 topology가 특이해서 그런데, topology가 실수 위의 topology보다 단순하다. 그리고 중국인의 나머지 정리로 대표되는 초등정수론에서 local property와 global property의 연결은 p-adic numbers에선 adéle이라는 것으로 만들어진다. 보통 쓰던 도구가 가지고 있는 것을 그대로 쓸 수 있고, topology라는 도구가 하나 더 추가되었으니 안 쓸 수가 없다.

또 하나의 이유는 뒤에 있는데, field extension 때문이다.

field extension

p-adic number의 field extension은 적어도 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]의 field extension보다는 훨씬 단순하지만 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]보단 복잡하다. [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 field extension은 정말로 단순해서 algebraic closure가 degree 2 extension인 [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]이고, 이것은 complete이기까지 하지만, 똑같은 completion인 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_p }[/math]는 infinite algebraic extension이 있고, 그 algebraic closure는 complete가 아니다. 그리고 그걸 또 completion하면 다행히 algebraically closed field라는 성질은 유지되는데, locally compact가 아니라서 적분을 정의 못 한다는... 또 하나의 시련에 시달린다. 이 field를 [math]\displaystyle{ \mathbb{C}_p }[/math]라고 자주 쓰는데, 신기한 성질은 이것은 [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]하고 field isomorphic하다는 것이다. 그러니까 다르게 completion했고 다른 길을 걸었지만 사실 복소수들의 집합과 [math]\displaystyle{ \mathbb{C}_p }[/math]는 완전히 같은 집합에 완전히 같은 field structure를 주고서 topology만 다르게 준 것이다. 그러니까 [math]\displaystyle{ \mathbb{C}_p }[/math]는 topology만 빼면 그냥 복소수 집합이다.

사실 field extension이 이렇게 복잡한 것은 다행이라고 할 수 있는데, 이것은 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 field extension뿐만 아니라 finite field의 field extension보다도 복잡하다. 그 적당히 복잡하다는 성질로 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]의 field extension의 성질을 더욱 더 많이 뽑을 수 있어서. [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]처럼 단순했다면 수학자들 입장에선 너무 쉬울지 몰라도 그걸로 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]에 대한 정보도 알아낼 수 없었을 것이다.

사실 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 field extension이 이렇게나 단순한 이유는 ordered field라는 성질 때문인데, [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_p }[/math]의 field extension이 복잡한 건 당연한 걸지도 모르겠다. Ramification theory를 보면 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_p }[/math]의 field extension은 당연히 복잡해야 한다. 안 그러면 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]의 field extension부터 엄청 단순했을 것이다.

Ostrowski theorem

Norm으로 만드는 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]의 completion은 딱 두 가지라는 얘기다. [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]하고 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_p }[/math].

모든 유리수 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] 의 비자명한 norm은 평범한 절댓값 [math]\displaystyle{ |\cdot|_{\infty} }[/math] 와 동치이거나, 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math] 에 대한 p-adic norm [math]\displaystyle{ |\cdot|_p }[/math] 와 동치이다.

정의 1. Trivial Norm

Trivial norm [math]\displaystyle{ | \cdot |_0 }[/math] 는 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle |a|_0 = \begin{cases} 0 & \text{if}\ a = 0, \\ 1 & \text{if}\ a \neq 0 \end{cases} }[/math]

정의 2. Norm 의 상등

두 norm [math]\displaystyle{ |\cdot|, |\cdot|' }[/math] 이 같다는 것은 한 norm 이 다른 norm의 거듭제곱으로 표현될 수 있다는 것이다.

증명

다음의 두 가지 경우에 대해 생각해보자.

Case 1. [math]\displaystyle{ \forall m \neq 0 \in \mathbb{Z}, |m| \leq 1 }[/math] 이 경우 nonarchimedean norm의 첫번째 성질에 의해 이 norm은 nonarchimedean norm 이된다.

만일 모든 영이 아닌 정수 [math]\displaystyle{ m }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ |m|=1 }[/math] 이 성립한다면 이 norm이 trivial norm이 되는 것은 norm에 정의에 따라 자명하다. 그런데 우리는 자명하지 않은 norm을 다루고 있으므로 어떠한 영이 아닌 정수 [math]\displaystyle{ m }[/math] 이 존재하여 [math]\displaystyle{ |m| \lt 1 }[/math] 을 만족해야 한다. 그런데 norm에 정의에 따라 [math]\displaystyle{ |-1|=|1|=1 }[/math] 임을 얻고 이를 통해 모든 정수 m에 대해 [math]\displaystyle{ |m|=|-m| }[/math] 을 안다. 즉 양의 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math] 이 존재하여 [math]\displaystyle{ |n|\lt 1 }[/math] 을 만족해야 한다. 그런데 Well-Ordering Principle 에 의해 이러한 것을 만족하는 양의 정수의 최소원은 반드시 존재하게 된다. 그 최소원을 [math]\displaystyle{ n^* }[/math] 라 하자. 그러면 이것은 소수이여만 한다. 왜냐하면 이것이 소수가 아니면 [math]\displaystyle{ n^* = rs,\ r,s\lt n^* }[/math]인 양의 정수 [math]\displaystyle{ r,s }[/math] 가 존재하여 [math]\displaystyle{ |r||s| = |rs| = |n^*| \lt 1 \Rightarrow |r|\lt 1\ \text{or}\ |s| \lt 1 }[/math] 을 함의하고 이것은 [math]\displaystyle{ n^* }[/math]가 최소원임에 모순이되기 때문이다.

이제 [math]\displaystyle{ n^* }[/math]가 소수라는 것을 알았으니 [math]\displaystyle{ n^* }[/math] 대신 [math]\displaystyle{ p }[/math] 라고 하자. 이제 [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{Z} }[/math] 이면서 [math]\displaystyle{ p \nmid m }[/math] 인 경우를 생각하자. 그러면 나머지 정리에 의해 적당한 정수 [math]\displaystyle{ q }[/math] 와 [math]\displaystyle{ 0 \lt r \lt p }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ m = qp+r }[/math] 이라고 쓸 수 있다. 그리고 [math]\displaystyle{ m,q }[/math] 는 정수이므로 [math]\displaystyle{ |m|,|q| \leq 1 }[/math] 이며, [math]\displaystyle{ |p|\lt 1 }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ |pq|\lt 1 }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ p }[/math] 는 [math]\displaystyle{ |p|\lt 1 }[/math] 인 최소의 자연수이므로 [math]\displaystyle{ |r|=1 }[/math] 이어야 한다.

또한, 이 norm은 non-archimedean 이므로 [math]\displaystyle{ 1=|r|=|m-pq| \leq \max\{|m|,|pq|\} }[/math] 이여야 한다. 이로부터 우리는 [math]\displaystyle{ p \nmid m }[/math] 이면 [math]\displaystyle{ |m|=1 }[/math] 을 얻는다.

또한, 모든 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math] 와 적당한 정수 [math]\displaystyle{ k \geq 0 }[/math] 그리고 정수 [math]\displaystyle{ p \nmid m }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ n = p^k m }[/math] 라고 표현할 수 있으므로 [math]\displaystyle{ |n|=|p^k||m|=|p^k|=|p|^k }[/math] 가 된다. 이로부터 모든 정수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |\cdot| }[/math]이 [math]\displaystyle{ |\cdot|_p }[/math] 와 상등임을 알 수 있고, norm의 정의에 의해 모든 유리수 [math]\displaystyle{ q }[/math]에 대해서도 상등이 된다는 것을 알 수 있다.

Case 2. [math]\displaystyle{ \exists x \in \mathbb{Z}, |x|\gt 1 }[/math] 일단 이 경우 1이나 -1이 아닌 모든 정수 [math]\displaystyle{ y }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ |y| \gt 1 }[/math] 임을 보이자. 그렇지 않다고 가정하고 그러한 정수를 [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] 라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ |-1|=|1|=1 }[/math] 이므로 일반성을 잃지 않고 [math]\displaystyle{ y_0 \gt 1 }[/math] 이라 할 수 있다. 이제 [math]\displaystyle{ |x|\gt 1 }[/math] 을 만족하는 양의 정수 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] 의 거듭제곱 [math]\displaystyle{ x^n_0 }[/math] 를 [math]\displaystyle{ y_0 }[/math]를 이용해서 표현한다고 하자. 그러면 적당한 음이아닌 정수 [math]\displaystyle{ m }[/math] 과 [math]\displaystyle{ 0 \leq c_i \leq y-1 }[/math], where [math]\displaystyle{ c_m \neq 0 }[/math] 가 존재하여

[math]\displaystyle{ \displaystyle x^n = c_m y^m + \dotsc + c_0 }[/math] 라고 표현할 수 있으므로 이로부터 [math]\displaystyle{ y^m \leq c_m y^m + \dotsc + c_0 = x^n \Rightarrow m \leq \frac{n \log x}{\log y} }[/math] 임을 얻는다. 또한, 삼각부등식에 의해

[math]\displaystyle{ \begin{align} |x|^n &= |x^n| = |c_m y^m + \dotsc + c_0 | \\ &\leq |c_m||y^m| + \dotsc + |c_0| \\ &\leq |c_m| + \dotsc + |c_0| && \text{($\because$, $|y|\leq 1$)} \\ &\leq m+1M \leq M \left ( \frac{n\log x}{\log y}+1 \right) && M={max}\{|1|,\dotsc,|y-1|\} \end{align} }[/math]

이 성립한다. [math]\displaystyle{ |x| \gt 1 }[/math] 이므로 위의 부등식이 성립하지 않는 적당히 큰 자연수 [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] 가 존재하게 된다. 이것은 위의 부등식이 모든자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math] 에 대해 성립한다는 것에 모순이므로, 우리는 1이나 -1이 아닌 음이 아닌 모든 정수 [math]\displaystyle{ y }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ |y|\gt 1 }[/math] 임을 얻는다.

즉 [math]\displaystyle{ |y|\gt 1 }[/math] 이므로

[math]\displaystyle{ \begin{align} |x|^n &= |x^n| = |c_m y^m + \dotsc + c_0| \\ &\leq (m+1)M|y|^m \\ &\leq \left ( \frac{n\log x}{\log y}+1 \right)M |y|^{\frac{n\log x}{\log y}} \end{align} }[/math]

이 식의 양변을 [math]\displaystyle{ n }[/math] 제곱근한 뒤, [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math] 하면 [math]\displaystyle{ \displaystyle |x| \leq |y|^{\frac{\log x}{\log y}} \Rightarrow |x|^{\frac{1}{\log x}} \leq |y|^{\frac{1}{\log y}} }[/math] 를 얻으며 대칭성에 의해 등호의 역도 성립하므로 [math]\displaystyle{ \displaystyle |x|^{\frac{1}{\log x}} = |y|^{\frac{1}{\log y}} }[/math] 가 성립한다.

이로부터 모든 정수 [math]\displaystyle{ x }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ |\cdot| }[/math] 이 [math]\displaystyle{ |\cdot|_{\infty} }[/math] 와 상등임을 얻으며, norm에 정의에 의해 모든 유리수에 대해서도 상등임을 얻는다.

Case1, Case 2의 결과로부터 우리는 유리수 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] 의 norm은 p-adic norm 과 상등이거나 일반적인 절댓값과 상등이라는 것을 얻는다.

일반적인 number field로의 일반화

Number field [math]\displaystyle{ K }[/math]의 모든 비자명한 nonarchimedean norm 은 다음과 동치이다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle |x|_{\mathfrak{p}} = c^{v_{\mathfrak{p}}(x)}, }[/math] 여기서 [math]\displaystyle{ \mathfrak{p} }[/math] 는 0이 아닌 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_K }[/math]의 소 아이디얼이며 [math]\displaystyle{ v_{\mathfrak{p}} (x) }[/math]는 [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}_K }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ x \in \mathfrak{p}^m }[/math] 을 만족하는 최대의 정수 [math]\displaystyle{ m }[/math]으로 정의되고, 0이 아닌 일반적인 number field [math]\displaystyle{ K }[/math] 의 원소에 대해서 이러한 정의를 곱셈적으로 확장한 것이다.

증명

(추가예정)

참고문헌 또는 관련 책들

[1] Frazer Jarvis, "Algebraic Number Theory", Springer, Ch 10

[2] Jean-Pierre Serre, "A Course in Arithmetic", Springer

[3] Serge Lang, "Algebra", Revised 3rd Ed, Springer