Nonarchimedean norm

이 문서는 노름(norm) 중 non-archimedean norm 에 성질에 대해 다룬다.

1 정의[편집]

non-archimdean norm [math]\displaystyle{ |\cdot| }[/math] 은 field [math]\displaystyle{ K }[/math] 위에서 정의된 실함수로 다음의 성질을 만족한다.

1. [math]\displaystyle{ \forall x \in K, |x| \geq 0 }[/math], 그리고 [math]\displaystyle{ |x|=0 \iff x=0 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ \forall x,y \in K, |xy|=|x||y| }[/math]

3. [math]\displaystyle{ \forall x,y \in K, |x+y| \leq \max \{|x|,|y|\} }[/math]

3의 조건은 일반적인 norm 의 조건인 삼각부등식을 강화한 것이다.

2 성질[편집]

2.1 첫번째 성질[편집]

1. Field [math]\displaystyle{ K }[/math]가 정수집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] 를 포함한다고 하자. 그리고 field [math]\displaystyle{ K }[/math] 에서 정의된 norm [math]\displaystyle{ |\cdot| }[/math][math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] 에서 bounded 되어 있다고하자. 그러면 [math]\displaystyle{ |\cdot| }[/math] 은 non-archimedean norm이다.

2.1.1 증명[편집]

[math]\displaystyle{ x,y \in K }[/math] 에 대해 [math]\displaystyle{ (x+y)^n }[/math] 을 생각하자. 또한 이 norm 은 모든 정수에 대해 bounded 되어 있으므로, 그러한 실수를 [math]\displaystyle{ C }[/math] 라 하자. 그러면 이항정리에 의해

[math]\displaystyle{ \begin{align} |x+y|^n &= |(x+y)^n| \\ &= | \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^iy^{n-i} | \\ &\leq \sum_{i=0}^n |\binom{n}{i}x^iy^{n-i}| && \text{(by triangular inequality)} \\ &= \sum_{i=0}^n |\binom{n}{i}||x^iy^{n-i}| \\ &\leq (n+1)C\max\{|x|^n,|y|^n\} && \text{($\because, \binom{n}{i} \in \mathbb{Z}$)} \end{align} }[/math]

가 성립한다. 이제 양변을 [math]\displaystyle{ n }[/math] 제곱근 한뒤, [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math] 하면

[math]\displaystyle{ |x+y| \leq \max\{|x|,|y|\} }[/math]

를 얻으며, 이것은 이 norm 이 non-archimedean 이라는 것과 같다.

2.2 두번째 성질[편집]

non-archimedean norm 을 거리로 가지는 거리공간 [math]\displaystyle{ M }[/math] 을 생각하자. 거리공간 [math]\displaystyle{ M }[/math] 위에서의 open ball 은 모두 열린동시에 닫혀있다.

2.2.1 증명[편집]

일반적인 norm에 대해 open ball이 열려있다는 것은 이미 알고 있으므로 non-archimedean norm 에 대해 open ball이 닫혀있다는 것만 보이자. Open ball [math]\displaystyle{ B }[/math] 가 limit point 를 거리공간 M에서 가지지 않을 경우 닫힌공간의 정의에 의해 open ball은 닫혀있으므로 open ball [math]\displaystyle{ B }[/math] 가 거리공간 M에서 limit point를 가지는 경우를 생각하자. 이제 그 open ball의 중심을 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], 반지름을 [math]\displaystyle{ r }[/math], limit point를 [math]\displaystyle{ y }[/math] 라 하자. 그러면 limit point의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ y_0 \in B, |y-y_0|\lt r }[/math] 인 점 [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] 가 존재한다. 즉, [math]\displaystyle{ |x_0-y|=|(x_0-y_0) + (y_0-y)| \leq \max\{|x_0-y_0|,|y_0-y|\} \lt r }[/math] 이므로 open ball의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ y \in B }[/math] 가 된다. 이로부터 모든 limit point가 open ball [math]\displaystyle{ B }[/math]에 속한다는 것을 알 수 있으며 이것은 open ball [math]\displaystyle{ B }[/math] 가 닫혀있다는 것과 같다.

3 참고문헌[편집]

[1] Serge Lang, "Algebra", Revised 3rd Ed, Springer, ch12