1=2

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이 문서는 [math]\displaystyle{ 1=2 }[/math]임을 보이는 증명과 그 변형을 다룬다.

[math]\displaystyle{ 1=2 }[/math]

도함수를 이용한 증명

다음을 관찰하자.

[math]\displaystyle{ \begin{align} 1&=1^2\\ 2+2&=2^2\\ 3+3+3&=3^2\\ \vdots &=\vdots \end{align} }[/math]

그러면 언제나

[math]\displaystyle{ \underbrace{x+x+\cdots+x}_{x\text{ times}}=x^2 }[/math]

임을 알 수 있다. 양변을 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 미분하면

[math]\displaystyle{ \underbrace{1+1+\cdots+1}_{x\text{ times}}=2x }[/math]

이고 따라서

[math]\displaystyle{ x=2x }[/math]이다.

양변에서 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 소거하면

[math]\displaystyle{ 1=2 }[/math]

를 얻는다.

이 증명이 그럴싸해 보이는 것은 x를 극한으로 보내보면 결국 적분형태라는 것을 알 수 있기 때문이다. 간단히 정리해서, ∑n = ∫n = x^2 (여기서 n은 증명 중의 조건에 제시된 대로 n=x이기도 하다.)이므로, nx + C = x^2 + C가 x^2와 같다는 식이 된다. 여기서 C를 1이라고 정의하면 위 이론이 맞아 떨어진다. (사실 증명방법을 약간만 달리하면, 얼마든지 값을 바꿀 수 있다.)

이를 공간적으로 해석하자면, 2차원의 "1" (예를 들어 1평방미터)와 1차원의 "1" (예를 들어 1미터)는 차원에 따라서는 달라보일 수 있더라도 결국 "1"로 같은 것이다, 라는 주장과도 같다.

연분수를 이용한 증명

임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \frac{n+1}{n}=\cfrac{1}{2-\cfrac{n+2}{n+1}} }[/math]

이다. 이제

[math]\displaystyle{ 1=\frac{1}{2-1}=\frac{1}{2-\cfrac{1}{2-1}}=\frac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-1}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-1}}}}=\ldots =\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\dots}}}}} }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ 2=\cfrac{1}{2-\cfrac{3}{2}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{4}{3}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{5}{4}}}}=\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{6}{5}}}}}=\ldots =\cfrac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\frac{1}{2-\ldots}}}}}. }[/math]

우변이 같으므로, [math]\displaystyle{ 1=2 }[/math]임을 안다.

바로 위 도함수 증명과 마찬가지로 이것도 극한을 쓴 이론으로, "lim 1/x = 0" 인 것을 이용했다. 하지만 실제로는 "lim 1/x ≠ 0", 그러니까 "0에 아주 가깝다" 일 뿐이기 때문에, 미적분에서 언급하는 적분상수와 같은 오차가 발생하며, 그것을 극적으로 시각화 한 것에 불과하다.

대수 기초를 이용한 증명

[math]\displaystyle{ a=b }[/math]라고 가정하자. 양변에 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 곱하면 [math]\displaystyle{ a^2=ab }[/math]이며, 양변에 [math]\displaystyle{ a^2 }[/math]를 더하면 [math]\displaystyle{ 2a^2=a^2+ab }[/math]이다. 양변에 [math]\displaystyle{ 2ab }[/math]를 빼면 [math]\displaystyle{ 2a^2-2ab=a^2-ab }[/math]이며, [math]\displaystyle{ 2a^2-2ab=2(a^2-ab) }[/math]로 양변을 인수분해할 수 있다. [math]\displaystyle{ a^2-ab }[/math]를 소거하면 [math]\displaystyle{ 2=1 }[/math]을 얻는다.

사실 위 증명이 틀린 것을 증명하는 건 무척 간단하다. 가장 처음에 a=b라고 했으므로 a^2-ab는 결국 a^2-a^2로 치환할 수 있어서, 그 값이 항상 "0"이 된다. 어떤 수라도 0으로 나누면 (소거를 위해선 반드시 나눠야 한다.) 위와 같은 결론을 낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ 1=-1 }[/math]

허수단위를 이용한 증명

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sqrt{-1} &= i \\ \frac1{\sqrt{-1}} &= \frac1i \\ \frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}} &= \frac1i \\ \sqrt{\frac1{-1}} &= \frac1i \\ \sqrt{\frac{-1}1} &= \frac1i \\ \sqrt{-1} &= \frac1i \\ i &= \frac1i \\ i^2 &= 1 \\ -1 &= 1 \quad !!! \end{align} }[/math]

이 증명의 헛점을 알아야겠다면, 본 문서의 스크롤을 아래쪽으로 쭉 내려보면 된다.

오일러 항등식을 이용한 증명

[math]\displaystyle{ \begin{align*}e^{i\pi}+1&=0\\e^{i\pi}&=-1\\e^{2i\pi}&=1\\\ln{e^{2i\pi}}&=\ln1\\2i\pi\ln{e}&=0\\2i\pi&=0\\i\pi&=-i\pi\\1&=-1\end{align*} }[/math]

이 증명은, 사실 증명 과정 중에 함부로 제곱을 넣었기 때문에 절대값화가 일어나서 만들어진 결과이다.

[math]\displaystyle{ 1=0 }[/math]

극한의 성질을 이용한 증명

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 }[/math]

이다. 따라서 극한의 기본 성질에 의해

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}\right)=0 }[/math]

이다. 그런데

[math]\displaystyle{ \underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{\text{$n$ times}}=1 }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ 1=0 }[/math]이다.

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[math]\displaystyle{ 0=1 }[/math]

영환(零環)(혹은 자명환)에서는 정말로 0=1이 성립한다. 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원이 같기 때문.

[math]\displaystyle{ 1=-1 }[/math]

정의역의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x^2=x }[/math]이 성립하는 환은 [math]\displaystyle{ 1=-1 }[/math]이 성립한다.

증명

[math]\displaystyle{ \left(1+\left(-1\right)\right)^2=1+\left(-1\right)=0 }[/math]. 한편, [math]\displaystyle{ \left(1+\left(-1\right)\right)^2=1^2+1\left(-1\right)+\left(-1\right)1+\left(-1\right)^2=1+1\left(-1\right)+\left(-1\right)1+\left(-1\right)=1\left(-1\right)+\left(-1\right)1+0=1\left(-1\right)+\left(-1\right)1 }[/math]이다. 따라서, [math]\displaystyle{ 1\left(-1\right)+\left(-1\right)1=0 }[/math]이고, 이는 곧 [math]\displaystyle{ 1\left(-1\right)=-\left(1\left(-1\right)\right) }[/math]이 성립함을 의미한다. 그런데 [math]\displaystyle{ 1 }[/math]은 곱셈에 대한 항등원이고, 환의 역원의 유일성을 이용하면, [math]\displaystyle{ 1=-1 }[/math]을 얻는다.