우함수

Even Function

우함수는 정의역 내의 임의의 실수(혹은 복소수) \(x\)에 대해서 [math]\displaystyle{ f(x) = f(-x) }[/math]를 만족하는 함수 [math]\displaystyle{ =f:D \rightarrow\mathbb{C} }[/math]를 의미한다.

성질

\(f,\,g\)가 우함수, \(h\)가 기함수일 때,

• [math]\displaystyle{ f\pm g }[/math]는 우함수이다.

  [math]\displaystyle{ \left(f+g\right)\left(-x\right)=f\left(-x\right)+g\left(-x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=\left(f+g\right)\left(x\right) }[/math]

• [math]\displaystyle{ f\cdot g }[/math]는 우함수, [math]\displaystyle{ f\cdot h }[/math]는 기함수이다.

  [math]\displaystyle{ \left(fg\right)\left(-x\right)=f\left(-x\right)g\left(-x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)=\left(fg\right)\left(x\right) }[/math]

  [math]\displaystyle{ \left(fh\right)\left(-x\right)=f\left(-x\right)h\left(-x\right)=-f\left(x\right)h\left(x\right)=-\left(fh\right)\left(x\right) }[/math]

• [math]\displaystyle{ 1/f }[/math]는 우함수이다.

  [math]\displaystyle{ \left(1/f\right)\left(-x\right)=1/f\left(-x\right)=1/f\left(x\right)=\left(1/f\right)\left(x\right) }[/math]

• [math]\displaystyle{ f/g }[/math]는 우함수, [math]\displaystyle{ f/h ,\,h/f }[/math]는 기함수이다.

  위 두 성질을 사용하면 증명된다.

• 도함수 [math]\displaystyle{ f\prime }[/math]은 기함수이다.

  [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=f\left(-x\right) }[/math]의 양변을 미분하면, [math]\displaystyle{ f'\left(x\right)=-f'\left(-x\right) }[/math].

• [math]\displaystyle{ \int_{-a}^af\left(x\right)\mathrm{d}x=2\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x }[/math]

  [math]\displaystyle{ \int_{-a}^0f\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_{-a}^0f\left(-x\right)\mathrm{d}x }[/math]에서, [math]\displaystyle{ -x=t }[/math]로 치환하면, [math]\displaystyle{ \mathrm{d}x=-\mathrm{d}t }[/math]이고, 적분 범위는 0에서 \(a\)까지이다. 따라서, [math]\displaystyle{ \int_{-a}^0f\left(-x\right)\mathrm{d}x=-\int_a^0f\left(t\right)\mathrm{d}t=\int_0^af\left(t\right)\mathrm{d}t=\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ \int_{-a}^af\left(x\right)\mathrm{d}x=\int_{-a}^0f\left(x\right)\mathrm{d}x+\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x=2\int_0^af\left(x\right)\mathrm{d}x }[/math]

고등학교 수준의 수학에서는 우함수는 [math]\displaystyle{ y }[/math]축에 대하여 대칭이다.

우함수의 예

• 짝수 차수인 다항함수와 그 역수를 함수값으로 하는 분수 함수.
• 삼각함수 중 [math]\displaystyle{ \cos x,\, \sec x }[/math]가 우함수이다.
• 표준정규분포의 확률밀도함수 [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{e^{-x^2 /2}}{\sqrt{2 \pi }} }[/math].