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2016년 8월 30일 (화) 22:10 판
정의
\(s\)가 \(\operatorname{Re} s >1\)인 복소수일 때, 함수 \(\zeta:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\)를
- [math]\displaystyle{ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} }[/math]
로 정의하면 \(\zeta(s)\)는 수렴한다. 이때 \(\zeta\)를 리만 제타함수(Riemann zeta function)라고 한다.
수치
- [math]\displaystyle{ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945} }[/math]
성질
- [math]\displaystyle{ \zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}} }[/math]
- \(\operatorname{Re} s > 2\)일 때 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} }[/math]이다. 이때 \(\phi\)는 오일러 피 함수이다.
현재까지 알려진 성과
- \(\zeta(3)\)은 무리수이다.[1]
- \(\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)\) 중 적어도 하나는 무리수이다.[2]
- \(k\)가 양의 정수일 때, \(\zeta(2k+1)\) 꼴의 수 중 무리수는 무수히 많다.[3]
같이 보기
각주
- ↑ Apéry, R. (1979). "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)". Astérisque 61: 11–13.
- ↑ W W Zudilin, "One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational", RUSS MATH SURV, 2001, 56 (4), 774–776
- ↑ Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique 331 (4): 267–270.