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로그값은 다음과 같은 특징을 가지고 있다. 거듭제곱의 성질과 비교하면 다음과 같다. | 로그값은 다음과 같은 특징을 가지고 있다. 거듭제곱의 성질과 비교하면 다음과 같다. | ||
# <math> a^{(x+y)} =a^x \cdot a^y ~~ \leftrightarrow ~~{\log}_{a} {XY} = {\log}_{a} {X} + {\log}_{a} Y </math> | # <math> a^{(x+y)} =a^x \cdot a^y ~~ \leftrightarrow ~~{\log}_{a} {XY} = {\log}_{a} {X} + {\log}_{a} Y </math> | ||
# <math> a^{xy} ={(a^x )}^{y} ~~ \leftrightarrow ~~ {\log}_{a} {X^y} = y {\log}_{a} {X} </math> | # <math> a^{xy} ={(a^x )}^{y} ~~ \leftrightarrow ~~ {\log}_{a} {X^y} = y {\log}_{a} {X} </math> | ||
# <math> c>0, c\neq 1 ~~\Rightarrow~~ {\log}_a b = \frac { {\log}_c b} { {\log}_c a } </math> | # <math> c>0, c\neq 1 ~~\Rightarrow~~ {\log}_a b = \frac { {\log}_c b} { {\log}_c a } </math> | ||
이러한 특징은 차이가 큰 대상들을 비교하는데 활용되고 있다. [[절대등급]]도 그 예시 중 하나이다. | |||
== 특수한 로그 == | == 특수한 로그 == | ||
* 밑이 [[10]]인 로그를 상용 로그라고 부른다. [[통계학]] 등 계산 위주로 하는 학문에서는 밑이 10인 로그는 밑을 생략해서 표현하는 경우가 많다. 다만 순수수학에서는 상용로그의 밑 10을 생략하지 않는 편. | * 밑이 [[10]]인 로그를 상용 로그라고 부른다. [[통계학]] 등 계산 위주로 하는 학문에서는 밑이 10인 로그는 밑을 생략해서 표현하는 경우가 많다. 다만 순수수학에서는 상용로그의 밑 10을 생략하지 않는 편. | ||
* 밑이 [[e]]<ref>오일러 수라고도 부르며, <math> {\lim}_{x \rightarrow 0}{ \left( 1 +1/x \right) }^{x} </math>로 정의된다. </ref>인 로그를 자연 | ** 또한 물리 및 수리통계, 경제에서 자주 쓰는 로그스케일(Logarithmic scale, 로그자/로그눈금/로그척도)도 밑이 10인 것을 기본으로 한다. 굳이 이러한 [[비선형]](非線形) 그래프를 사용하는 이유는 크게 2가지로, 하나는 표기해야 할 최소값과 최대값의 규모 간격이 너무 큰 값으로 차이날 때, 다른 하나는 기하급수의 적용으로 기울기가 심히 가팔라져 증감 정도나 추세를 가늠하기 어려워지는 현상을 완화시키려는 목적에서이다. | ||
** 자연 로그를 순수수학에서 많이 사용하는 이유는 [[역함수]]인 <math>e^x </math>가 수학적으로 상당히 중요한 역할을 하기 때문이다. 예를 들면 {{인용문2|<math> \frac{d}{dx} e^x = e^x </math> 또는 </ | * 밑이 [[e]]<ref>오일러 수라고도 부르며, <math> {\lim}_{x \rightarrow 0}{ \left( 1 +1/x \right) }^{x} </math>로 정의된다. </ref>인 로그를 [[자연 로그]]라고 부른다. 순수수학에서 가장 많이 쓰는 로그이며, 밑을 생략해서 표현하는 경우가 많다. 다만 상용 로그와 혼동을 피하기 위해 ln이라고 쓰기도 한다. | ||
이와 관련해서 <math> \frac{d}{dx} {\ln} x = \frac{1}{x} </math>라는 결과가 나온다. | ** 자연 로그를 순수수학에서 많이 사용하는 이유는 [[역함수]]인 <math>e^x </math>가 수학적으로 상당히 중요한 역할을 하기 때문이다. 예를 들면 {{인용문2|<math> \frac{d}{dx} e^x = e^x </math> 또는 <br /> <math> e^{(a+b\sqrt{-1})} = e^a ( \cos b + \sqrt{-1} \sin b) </math>}} | ||
이와 관련해서 <math> \frac{d}{dx} {\ln} x = \frac{1}{x} </math>라는 결과가 나온다. | |||
* 밑이 2인 로그를 2진 로그라고 부른다. 간혹 lb라고 사용하기도 한다. | * 밑이 2인 로그를 2진 로그라고 부른다. 간혹 lb라고 사용하기도 한다. | ||
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[[분류:수학 용어]] | [[분류:수학 용어]] |
2022년 5월 25일 (수) 17:10 기준 최신판
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수학에서는 로그(Log)라는 용어는 거듭제곱의 반대 개념에 해당되는 것을 의미한다. 다음과 같이 정의한다.
0보다 큰 두 실수 a, b(a≠1)에 대해 밑 a에 대한 b의 로그값은 다음과 같이 정의된다.
[math]\displaystyle{ a^x =b ~~ \leftrightarrow ~~ x = {\log}_{a} b }[/math]
여기서 a를 로그의 밑, b를 로그의 진수라고 부른다.
특성[편집 | 원본 편집]
로그값은 다음과 같은 특징을 가지고 있다. 거듭제곱의 성질과 비교하면 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ a^{(x+y)} =a^x \cdot a^y ~~ \leftrightarrow ~~{\log}_{a} {XY} = {\log}_{a} {X} + {\log}_{a} Y }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^{xy} ={(a^x )}^{y} ~~ \leftrightarrow ~~ {\log}_{a} {X^y} = y {\log}_{a} {X} }[/math]
- [math]\displaystyle{ c\gt 0, c\neq 1 ~~\Rightarrow~~ {\log}_a b = \frac { {\log}_c b} { {\log}_c a } }[/math]
이러한 특징은 차이가 큰 대상들을 비교하는데 활용되고 있다. 절대등급도 그 예시 중 하나이다.
특수한 로그[편집 | 원본 편집]
- 밑이 10인 로그를 상용 로그라고 부른다. 통계학 등 계산 위주로 하는 학문에서는 밑이 10인 로그는 밑을 생략해서 표현하는 경우가 많다. 다만 순수수학에서는 상용로그의 밑 10을 생략하지 않는 편.
- 또한 물리 및 수리통계, 경제에서 자주 쓰는 로그스케일(Logarithmic scale, 로그자/로그눈금/로그척도)도 밑이 10인 것을 기본으로 한다. 굳이 이러한 비선형(非線形) 그래프를 사용하는 이유는 크게 2가지로, 하나는 표기해야 할 최소값과 최대값의 규모 간격이 너무 큰 값으로 차이날 때, 다른 하나는 기하급수의 적용으로 기울기가 심히 가팔라져 증감 정도나 추세를 가늠하기 어려워지는 현상을 완화시키려는 목적에서이다.
- 밑이 e[1]인 로그를 자연 로그라고 부른다. 순수수학에서 가장 많이 쓰는 로그이며, 밑을 생략해서 표현하는 경우가 많다. 다만 상용 로그와 혼동을 피하기 위해 ln이라고 쓰기도 한다.
- 자연 로그를 순수수학에서 많이 사용하는 이유는 역함수인 [math]\displaystyle{ e^x }[/math]가 수학적으로 상당히 중요한 역할을 하기 때문이다. 예를 들면
[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} e^x = e^x }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ e^{(a+b\sqrt{-1})} = e^a ( \cos b + \sqrt{-1} \sin b) }[/math] |
이와 관련해서 [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} {\ln} x = \frac{1}{x} }[/math]라는 결과가 나온다.
- 밑이 2인 로그를 2진 로그라고 부른다. 간혹 lb라고 사용하기도 한다.
각주
- ↑ 오일러 수라고도 부르며, [math]\displaystyle{ {\lim}_{x \rightarrow 0}{ \left( 1 +1/x \right) }^{x} }[/math]로 정의된다.