확률

주사위는 여러 확률 게임에 사용되는 도구이다.

1 개요[편집]

확률(確率, probability)은 수학의 한 분야로서, 어떤 일이 일어날 가능성이 있을 때 그 일이 실제로 일어날 지 일어나지 않을 지에 대해서 탐구하는 것이다. 예를 들어 확률을 이용하면 공중에 동전을 던졌을 때 앞면(그림) 혹은 뒷면(숫자)이 나올 가능성은 각각 1/2이라는 사실을 알 수 있다. 또한 어떤 일이 일어날 확률은 항상 0(절대 일어나지 않음)과 1(항상 일어남)사이에 있다.

이번엔 우리가 주사위를 던진다고 해 보자. 주사위에는 6개의 면에 각각 1,2,3,4,5,6의 숫자가 적혀 있다. 각 면이 나올 가능성은 모두 동일하므로 주사위를 던졌을 때 2가 나올 가능성은 1/6인 것이다. 한편, 주사위를 던졌을 때 1~6의 숫자 중 하나가 나올 확률은 1이다. 항상 일어난다는 의미이다. 반면에 주사위를 던졌을 때 7이 나올 확률은 0이다. 절대 일어나지 않는 경우라는 의미이다.

수학을 이용하면 어떤 일이 일어날 확률이 얼마인지 알 수 있다. 예를 들어, 6개의 주사위를 한꺼번에 던질 때, 주사위 눈의 총 합이 10 이상이 될 확률은 수학을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 그러나 굳이 여기서 보여줄 필요는 없으므로 생략한다.

확률 개념을 오해해서 일어나는 착각들이 많다. 예를 들어서 주사위를 던진다면 모든 눈이 고르게 한번씩 나와야 한다고 생각하는 경우가 있는데, 실제로는 그렇지 않다. 주사위를 두 번 던진다면 그 시도는 서로 다른 개별적인 사건이고, 이전에 발생한 일이 다음 상황의 확률 변동에 영향을 끼치지 못하기 때문이다. 바보같지만 저런 식의 착각에 빠져서 도박장에서 가산 탕진한 사람이 한둘이 아니다. 물론 수억번가까이 시도를 하다보면 이론상의 확률과 유사한 결과가 나올 가능성은 있다고 보는 게 일반적이지만 던져보기 전에는 모를 일이다.

2 확률의 수학적 정의[편집]

확률은 일어날 가능성을 생각해 볼 수 있는 모든 상황들에 대하여 0과 1 사이의 어떤 숫자를 부여하는 함수로 나타낼 수 있다. 6개의 주사위를 한꺼번에 던져서 '주사위 눈의 총 합이 10 이상'이라는 것도 그런 숫자를 부여할 수 있는 상황이라는 것이다. 이러한 각각의 상황들을 '사건'(event)이라고 정의하고, 확률은 이러한 사건들이 일어날 가능성들을 부여하는 함수가 된다.

한편, 사건들을 나타내기 위해서는 '표본공간'(sample space)을 정의할 수 있어야 한다. 표본공간은 우리가 알 수 있는 결과들을 모두 나타낸 집합이라고 보면 된다. 주사위를 여섯 번 던진다면, 표본 공간은

[math]\displaystyle{ \{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)|x_i\in\{1,2,3,4,5,6\}\} }[/math]

으로 정의할 수 있다. 일어날 가능성을 생각할 수 있는 모든 사건들은 표본공간의 원소들을 가지고 나타낼 수 있어야 한다. 예를 들면 '주사위 눈의 총 합이 10 이상'인 사건도 위의 표본공간의 원소들로 구성된 집합으로 나타낼 수 있다.

표본공간이 유한한 경우, 표본공간의 모든 부분집합들은 사건이 될 수 있다. 주사위를 6번 또는 n번 던지는 모든 경우가 여기에 해당한다.

하지만 그렇지 않은 경우 일어날 가능성이 있는 사건들을 어떻게 정의할 수 있는가에 대하여 시그마 대수 등의 측도론의 개념들을 활용해야 한다. 왜냐하면 분명 표본공간의 부분집합이긴 한데 그 '크기'를 측정할 수 없는 경우가 있기 때문이다.

모든 사건들의 집합을 정의역으로 취하는 함수 [math]\displaystyle{ P }[/math]가 아래의 조건들을 만족한다면 확률이 될 수 있다.

  • 모든 사건 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ P(A)\in[0,1] }[/math]이 성립한다.
  • 표본공간 [math]\displaystyle{ S }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ P(S)=1 }[/math]이 성립한다.
  • 유한 또는 가산 무한한(countably infinite) 서로 소(disjoint)인 사건들 [math]\displaystyle{ A_i }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ P(\cup_i A_i)=\Sigma_i P(A_i) }[/math]이 성립한다.

위의 세 번째 조건에서 가산 무한한 사건들에 대한 경우는 확률로 정의하기에는 직관적이지 않다고도 볼 수 있는 특정한 케이스들을 확률의 정의에서 배제시킨다. 이를테면, 표본공간이 모든 자연수들의 집합으로 주어진 경우, 세 번째 조건의 무한한 경우로 인해 확률을 정의하기가 매우 까다로워진다.