토론:존재성과 유일성

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유일성을 보이는 방법이 사실상 귀류법뿐인지

바로 밑의 예시 증명에서조차 귀류법을 안 쓰고 있는데, 정확히 무슨 뜻인지 궁금합니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 15일 (화) 14:34:21 (KST)

위쪽에 귀류법을 사용한 예시가 하나 있었는데 모니위키 문법이 적용이 안돼 문단안에 끼어져 있었네요. 지금은 수정했습니다. 그리고 문서에도 나와있듯이, 귀류법을 사용한 방법과 귀류법을 사용하지 않는 방법이 "본질적으로는" 동일합니다. 귀류법을 사용하면 "해가 유일하지 않다고 가정→서로 다른 두 해를 찾을 수 있음→여러가지 해보니 두 개가 같음→근데 두개가 다르다고 했으니 모순→따라서 해가 유일"의 순서를, 귀류법을 사용하지 않은 예시는 "두 해가 있음→여러가지 해보니 두 개가 같음→따라서 해가 유일"의 논리를 따릅니다. 사실상 증명의 첫부분과 끝부분을 수식하는 문구만 달라지지 거의 똑같죠. 그리고 유일성을 보이는 방법이 하나뿐인지에 대해서는 좀 애매한데, 모든 책에서 유일성을 증명할 때 두 해가 존재한다고 시작하거든요 (귀류법과 본질적으로 동일한 방법). 다른 방법이 있다면 수정하면 되겠지만 아니라면 일단 이대로 놔둬도 될 것 같습니다. --Skim (토론) 2015년 9월 15일 (화) 22:34:24 (KST)

확인했습니다.

예를 들어 일차방정식의 해의 경우에, 실수의 trichotomy로부터 x가 실수라면 x<−2이거나 x=−2이거나 x>−2이거나 셋 중 하나임을 알 수 있습니다. 그런데 (이 중 x=−2는 해이고) 일차함수 y=2x+4는 증가함수이므로, x<−2라면 y<0이고, x>−2라면 y>0이 됩니다. 따라서 x=−2 외의 해는 없고, x=−2는 유일한 해입니다. 이렇게 귀류법을 쓰지 않고 유일성을 증명할 수 있습니다.

“두 해가 있음 → 여러가지 해보니 두 개가 같음 → 따라서 해가 유일”의 증명방법도 역시 말씀하셨듯 귀류법을 사용하지 않은 것입니다. 그런데 앞뒤에 몇 마디만 덧붙이면 귀류법을 사용하는 풀이가 됩니다. 이 둘의 본질이 같다는 점에는 동의합니다. 그러나 단지 귀류법을 사용한 이 풀이와 귀류법을 사용하지 않은 저 풀이의 본질이 같다는 것만 알 수 있다고 생각합니다. 귀류법을 사용한 풀이의 본질이 무엇이라고 해서 그 무엇이 본질적으로 귀류법이 되지는 않습니다. 즉 말씀하신 그 ‘본질’이 귀류법을 사용한 풀이에 필수적으로 들어 있기는 한데, 그렇다고 해서 그게 귀류법이 되느냐는 질문입니다.

제가 첫머리에 언급한 일차방정식의 해의 경우에도 맨 첫머리에서 “x=−2 외의 해가 존재한다고 하면 x<−2이거나 x>−2이고 …”로 시작하고, “… 따라서 모순이므로 x=−2 외의 해는 존재하지 않는다.”로 결론을 맺으면 귀류법을 사용한 풀이가 됩니다. 그렇다고 해서 저 풀이의 본질이 귀류법이 될까요? 전 좀 의문입니다.

유일성을 증명함에 있어 귀류법을 쓰는 접근이 쉽다든가, 그러한 접근이 일반적으로 통한다면 모를까, 모든 풀이가 본질적으로 귀류법이라고 하기에는 약간의 비약이 있지 않나 합니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 15일 (화) 22:54:59 (KST)

삼분법칙을 언급하셨는데, 저는 삼분법칙이 유일성을 보인다고는 생각하지 않습니다. 삼분법칙에 의해 x가 -2라는 것은 알지만, 삼분법칙은 그냥 거기서 끝입니다. 그 뒤에 귀류법/두 해가 같음을 보임의 증명을 덧붙여야 한다고 저는 생각합니다. 즉, "삼분법칙에 의해 x=-2, 하지만 다른 해가 있는지는 모름"이라 할 수 있겠네요. 본질의 경우에는, 단어의 선택에 문제가 있는 것 같은데, "핵심 내용"은 같다고 바꾸면 될까요? 그리고 "사실상 유일" 부분은 "자주 쓰이는 방법" 정도로 바꾸고요. --Skim (토론) 2015년 9월 15일 (화) 23:00:01 (KST)

어… 제가 뭔가 실수한 것 같은 느낌이 드는데요, 한번 이렇게 말씀드려 볼게요.

우리가 귀류법이라고 하면 통상 p→q라는 명제를 보임에 있어서, i)NOT q를 가정하고 NOT p임을 보이거나 ii)p AND NOT q를 가정하고 모순임을 보이는 방법을 말하잖아요.

그러면 지금 유일성 증명에 있어서 귀류법이라고 할 때, p→q에 해당하는 명제가 무엇인지 상당히 헷갈리네요. 저는 “x≠−2이면 x는 해가 아니다” 자체가 p→q에 해당하는 명제, 즉 직접 증명하여야 할 명제라고 생각하고 있었던 것 같습니다.

아마 “x가 실수이고 2x+4=0이면 x=−2는 유일한 해이다”를 직접 증명하여야 할 명제라고 생각하셔서 “x≠−2이면 x는 해가 아니다”가 대우명제라고 생각하신 것 같습니다. 제가 제기하는 의문은 대체 이 상황에서 직접 증명하는 것은 무엇일까 하는 것입니다. 직접 증명하기 위해서는 ‘유일하다’라는 말이 어떻게든 해석이 되어야 하는데, 전 아무리 궁리해도 “x=−2는 해이고 x≠−2는 해가 아니다”라는 뜻으로밖에 해석이 안 됩니다. 그렇다면 저 명제는 사실 제대로 된 명제가 아니고, p→q 자체가 “x가 실수이면 x=−2는 2x+4=0의 해이고 x≠−2는 2x+4=0의 해가 아니다”가 아닐까요. 만약 그렇다면 “x≠−2이면 x는 해가 아니다”를 보이는 것은 어디까지나 직접 증명이지, 귀류법은 아닌 것 같은데요. 제가 뭔가 잘못 생각하고 있는 걸까요? --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 15일 (화) 23:27:43 (KST)

그리고 x를 ‘2x+4=0의 해’라는 뜻으로 쓴 것과 그냥 문자 x로서 쓴 것이 혼재했던 것 같은데요, 이번 말씀드리면서는 전부 그냥 문자 x로만 썼습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 15일 (화) 23:30:06 (KST)

방정식의 경우에는, "x=−2는 해이고 x≠−2는 해가 아니다"를 보이는 게 곧 유일성을 보이는 것이 되겠죠 (-2라는 숫자는 유일하니까). 그리고 그 증명을 귀류법을 사용하여 본문에 적어놓았습니다. 물론 이것을 직접 증명으로도 볼 수 있겠지만, 이는 보는 사람의 관점과 서술 방식의 차이라고 생각합니다. 귀류법이 아니라고 생각하시면 적절히 수정하셔도 됩니다. 그리고 제가 언급한 삼분법칙은, 해의 값의 위치를 알려주지, 해의 유일성을 알려주지 않는다는 뜻으로 말한 것이었습니다. 사실 저도 지금 굉장히 혼란스러운 상황이라... 어쨌든 제가 생각하는 유일성의 증명은 "해가 두 개가 존재한다"를 바탕으로 깔고 가는 것이었습니다. 또한, 지금 수업을 가야하기 때문에 답변을 늦게 할 것을 미리 알립니다. --Skim (토론) 2015년 9월 15일 (화) 23:37:21 (KST)

1. 본문에 적어 놓으신 증명이 직접 증명이라고 말씀드린 적은 없습니다. 귀류법이 아니라고 생각하지도 않습니다. 다만, 본문의 증명은 p→q가 2x+4=0 → x=−2임을 전제로 한 것으로 보이는데요, 증명하여야 할 명제가 “x=−2는 해이고 x≠−2는 해가 아니다”임을 전제로 한다면 올바른 증명인지조차 헷갈립니다.

2. 제가 삼분법칙만으로 증명한 게 아니고, “일차함수 y=2x+4는 증가함수이므로, x<−2라면 y<0이고, x>−2라면 y>0이 됨”을 적어 놓은 것 같은데, 이 부분이 잘 전달이 된 건지 모르겠습니다…

3. 저도 굉장히 혼란스러운데요, 다만 일반적인 경우(해를 모르는 경우)에도 ‘유일하다’라는 말을 어떻게든 해석해야 하는 것은 맞고, 제 생각에는 그 해석이 “x도 해고 y도 해라면 x=y이다”인 것으로 보이기 때문에 이것 역시 귀류법이 아니라고 주장하고 싶습니다.

4. 답변은 언제든 편할 때 해 주시기 바랍니다. 다만 제가 직접 손댈 수 있는데도(이미 꽤 손을 댄 것은 알고 계시리라 생각합니다) 게으르게 있는 것은 아니고, 저도 서술 방향이 갈피가 잘 안 잡혀서 토론에다가 말씀만 드리고 있는 것을 양해해 주시기 바랍니다 ㅠㅠ --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 16일 (수) 00:24:54 (KST)

1. x=-2가 해라는 사실은 증명되었으므로 따로 빼놓습니다. 보이고자 하는 명제는 "x≠-2인 다른 해가 존재한다면, 모순이 나온다"라는 것입니다.
2. 저 내용을 사용해 유일성을 증명하려면 강단조함수가 1-1이라는 성질을 이용해야합니다. 그런데 1-1임을 보이는 것도 결국 "함수값이 같다→x값이 값다"이므로 두 해가 존재한다 가정하고 그 두개가 같음을 보이는 것과 동일하죠.
3. "x도 해고 y도 해라면 x=y이다"에서 x≠y를 가정하고 시작하면 귀류법, 딱히 조건을 걸지 않고 시작하면 귀류법은 아니지만 귀류법과 핵심 내용은 같은 증명이라고 본문에 써있는걸로 기억합니다.--Skim (토론) 2015년 9월 16일 (수) 03:37:07 (KST)

1. 그렇게 생각하면 귀류법이 맞네요.

2. 아뇨 일대일이라는 성질 사용할 필요 없습니다. “일차함수 y=2x+4는 증가함수이므로, x<−2라면 y<0이고, x>−2라면 y>0이 됨” 이걸로 설명이 부족한가요? 증가함수의 정의만 사용했는데요. 말씀 듣고 보니 순증가함수라고 하였어야 정확한 이야기가 되네요. 어쨌건, 순증가함수는 물론 일대일이긴 하지만 거기까지 가지 않더라도 순증가함수라는 성질만 가지고도 얼마든지 증명이 가능합니다.

3. 네네 그러니까, x≠y를 가정하고 시작한 귀류법을 사용한 특정한 증명 A, 그리고 딱히 조건을 걸지 않고 시작한 특정한 증명 B, 얘네 둘이 핵심 내용이 같다는 거고 그 이상의 내용은 아니잖아요. 그게 왜 ‘귀류법과 핵심 내용은 같은’ 게 되는지 이해가 안 갑니다. 핵심 내용이 귀류법이 되는 게 아닌데요.

실제로 귀류법 말고는 증명할 방도가 도무지 없는 명제들도 있잖아요. 한편 말씀하고자 하시는 내용은, 핵심 내용은 똑같은데 조건을 어찌 하느냐에 따라서 귀류법으로 구성할 수도 있고 직접 증명으로 구성할 수도 있다는 것으로 보이구요. 이때 후자에 대해 ‘귀류법과 핵심 내용은 같은’ 운운의 내용을 달아서 실제로 귀류법 말고는 증명할 방도가 도무지 없는 전자의 명제들과 비슷하게 보이도록 하는 이유가 뭐냐는 질문입니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 16일 (수) 15:33:33 (KST)

2. 아니요, 1-1을 이용한 성질까지 써야 증명이 끝납니다. 강증가 함수라는 것만 보이면 중간에 끊긴 증명이죠. 그 상태에서는 다른 근이 존재하는가에 대한 질문을 답할 수 없습니다.

3. A 와 B는 증명의 시작과 끝만 다르지 중간 과정은 두 근이 같다라는 것을 보인다는 공통적인 과정입니다. 이 중간 과정이 증명의 대부분인데, 이 부분이 같다면 핵심 내용이 같은거지 아니먼 무엇입니까? 그리고 저는 이 두 증명 방법의 핵심이 같다고 했지, 다른 모든 증명이 귀류법과 핵심이 같다고는 하지 않았습니다. 어디까지나 자주 쓰이는 두 증명이 비슷하다는 소리입니다. --Skim (토론) 2015년 9월 16일 (수) 21:02:19 (KST)

2. “일차함수 y=2x+4는 증가함수이므로, x<−2라면 y<0이고, x>−2라면 y>0이 됨” 이걸로 설명이 부족하냐고 계속 묻는데 여기에 대해서는 대답을 안 하시네요. x<−2이면 2x+4<0이니까 2x+4≠0이겠네요. 그러면 x<−2인 모든 x는 해가 아니라는 거잖아요. 또 x>−2이면 2x+4>0이니까 또 2x+4≠0이겠네요. 그러면 x>−2인 모든 x는 해가 아니라는 거잖아요. 다른 근이 존재하지 않는다고 대답을 했는데 왜 “다른 근이 존재하는가에 대한 질문을 답할 수 없”다고 하시죠? 제가 지금 일대일이라는 성질을 썼나요?

3. 본문에서 “유일성을 보이는 방법은 사실상 한 가지밖에 없다. 바로 귀류법.”이라고 하셨잖아요. “다른 모든 증명이 귀류법과 핵심이 같다고는 하지 않았습니다.”라고 하셨으니 이 말을 뒤집으신 거죠? 그렇게 알겠습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 17일 (목) 15:10:07 (KST)

그러니까 3분법칙에 의해 x는 -2보다 작거나 같거나 크거나인데 작을 경우와 클 경우를 가정해서 각각 안된더는 것을 보이시는데, 그게 곧 x가 -2가 아님을 가정하고 증명해 나가는 본문의 증명과 다를 것이 없습니다. 일차 함수가 증가함수라는 서술은 필요없는 내용이죠. 정말로 증가함수라는 내용을 활용한다면 1-1이 반드시 들어가야 합니다.
증가함수에 대해 좀 더 얘기하자먼, 제곱근 항목의 유일성 증멍은 불완전 합니다. "강증가 함수이니 1-1이고, x^n=y^n=c라면 곧 x=y이므로 유일하다라는 한 줄이 더 추가되어야 합니다. 제가 왜 강단조 함수라는 사실만으로는 부족하다고 말하는지 이해해 주셨으면 합니다. --Skim (토론) 2015년 9월 17일 (목) 21:37:32 (KST)

콜론이 많아져 여기에 새로 다시 정리합니다. 우선, 존재성과 유일성 증멍은 연결되어 있습니다. 존재성에선 x=-2라고 했는데 유일성 증명에서도 같은 문자를 사용하니 문제가 생깁니다. 다른 문자를 사용해야 증명의 의미가 명확해지죠. 본문에선 a를 쓴걸로 기억합니다. 둘째로, y=2x+4가 증가 함수라는 내용는 필요없습니다. a는 다른 해임을 가정하므로 -2가 아님을 가정합니다. 삼분법칙에 의해 -2보다 작거나 큰데, 어느 쪽이든 식을 0으로 만들진 않습니다. 물론 증가함수라는 성질을 사용하여 -2보다 작으먼 0보다 작으므로 같지않고 -2보다 크면 0보다 크므로 같지 않다가 되겠죠. 하지만 일차함수같이 간단한 문제에선 이를 쓸 이유가 없을 뿐더러, 그 함수가 강증가함수라는 증명은 빠져있습니다. 제곱근을 예로 제가 또 들었는데, 증명을 그렇게 끝내놓으면 불완전하다는 소리였습니다. 그 함수가 강증가 함수라는 사실을 먼저 보여야 하며, x가 아닌 다른 문자를 사용해야 하고 (y), y<x 나 y>x는 안 되므로 결국 y=x다 라고 구체적인 설명이 필요합니다. 물론 수학에 관심있는 사람은 이해하겠지만 본래 취지가 일반인을 위한 것이었다는 것을 생각해주셨으면 합니다. 그리고 1-1을 언급한 것은, 현 상태에서의 증명이 불완전했기 때문에 수정할 방법 중 하나로 제시했던 것입니다. 아니먼 삼분법칙 필요없이 1-1로 증명을 깔끔하게 하는 것도 낫겠네요. 1-1을 반드시 서술해야한다는 것은 제 착오입니다. 마지막으로, 어느쪽이든 결국 두 근을 가정하고 그 두 개가 같다는 것을 보인다는 사실도 알 수 있네요. --Skim (토론) 2015년 9월 17일 (목) 22:02:32 (KST)

제가 중간에 “그리고 x를 ‘2x+4=0의 해’라는 뜻으로 쓴 것과 그냥 문자 x로서 쓴 것이 혼재했던 것 같은데요, 이번 말씀드리면서는 전부 그냥 문자 x로만 썼습니다.”라고 말씀드린 이후로는 x를 해의 뜻으로 쓴 적이 없습니다. 그리고 2.는 제가 쓴 증명 곧 “예를 들어 일차방정식의 해의 경우에, 실수의 trichotomy로부터 x가 실수라면 x<−2이거나 x=−2이거나 x>−2이거나 셋 중 하나임을 알 수 있습니다. 그런데 (이 중 x=−2는 해이고) 일차함수 y=2x+4는 증가함수이므로, x<−2라면 y<0이고, x>−2라면 y>0이 됩니다. 따라서 x=−2 외의 해는 없고, x=−2는 유일한 해입니다. 이렇게 귀류법을 쓰지 않고 유일성을 증명할 수 있습니다.”에 대한 얘기였습니다(여기서도 아무리 뜯어 봐도 x를 해의 뜻으로 쓴 것이 아니구요). 그렇다면 “우선, 존재성과 유일성 증멍은 연결되어 있습니다. 존재성에선 x=-2라고 했는데 유일성 증명에서도 같은 문자를 사용하니 문제가 생깁니다. 다른 문자를 사용해야 증명의 의미가 명확해지죠. 본문에선 a를 쓴걸로 기억합니다.”라는 말씀은 제 증명에 대한 비판은 아니겠네요. 여하튼 말씀하신 내용 자체는 타당한 것이고, 이해했습니다. 1-1을 쓰는 것이 물론 깔끔합니다. 제곱근 문서도 수정했습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 17일 (목) 23:23:32 (KST)

유일성에 대해 고민을 많이 해 보았는데, x에 관한 성질(조건) P(x)에 대해서 존재성 즉 ∃x[P(x)] 및 존재성을 전제로 하는 유일성 ∃!x[P(x)]을 증명하려고 할 때 어떤 명제를 증명하여야 하는가…가 문제인데요,

말씀하신 것처럼 존재성을 증명하는 가장 기초적인 방법은 그 성질을 만족하는 것을 하나 찾아서, 예를 들어 x₀라고 할게요, P(x₀)를 증명하는 것입니다. 이걸 한번

x=x₀ ⇒ P(x)

라고 써 볼게요. 이때 유일성을 반대 방향, 즉

x=x₀ ⇐ P(x)

라고 생각해도 될까요?

제가 일전에 드렸던 말씀이랑은 상치되기는 하는데, 본문에 적어 놓으신 일차방정식 2x+4=0의 해의 유일성 증명을 곰곰 뜯어 보니 의미 있어 보여서요. 제가 제대로 읽은 것이라면 증명의 대의는 결국 2x+4=0 ⇒ 2x=−4 ⇒ x=−2이므로 −2 외의 것은 해가 아니라는 거잖아요. 결국 위 ‘반대 방향’을 증명하고 있습니다. 한편, 동치변형임을 강조하여 양쪽 화살표로 적을 경우 존재성과 유일성 둘을 한 방에 해결하는 결과로도 됩니다(사실 방정식은 이렇게 풀죠).

만약 저걸 증명하는 것을 유일성이라고 한다면 대우 명제, 즉

x≠x₀ ⇒ ￢P(x)

를 증명하는 것은 귀류법이라고 할 수도 있어 보이긴 하네요.

또한, x₀를 알 수 없는 경우에는 증명을 시도할 수 있는 게 P(x)의 진리집합이 singleton이라는 것 정도인데요, 결국 계속 강조하시던, 위와 비슷한 모양의 다음 명제

x=y ⇐ P(x) ∧ P(y)

를 보이는 방법밖에 없는 것 같네요. 어째 진짜 injectivity 증명하는 거랑 모양이 비슷하네요. 그리고 y 자리에 x₀ 집어넣으면

x=x₀ ⇐ P(x) ∧ P(x₀)

를 얻는데, 첫 명제가 P(x₀)임을 알고 x=x₀ ⇐ P(x)를 증명한다는 것이었으므로 결국 같은 얘기가 됩니다.

정리하면 유일성 증명이란 결국

1. x=y ⇐ P(x) ∧ P(y)
2. P(x₀)임을 알고 x=x₀ ⇐ P(x)
3. P(x₀)임을 알고 x≠x₀ ⇒ ￢P(x) (귀류법)

요렇게 정리할 수 있을 것 같습니다.

근데 유일성을 위 1번으로 해석하는 게 정말 지극히 자연스러운지는 잘 모르겠네요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 17일 (목) 23:23:32 (KST)

으아아 되돌린건 실수입니다. 모바일이라 불편하네요. 물론 유일성에 대해 논리학적으로 엄밀하게 가면 본문에 서술되어있는 내용(두 근이 있다 - 실은 같다)이 정말로 옳은지는 의문이죠. 저는 아직 본격적인 수리 논리를 들은적이 없어 잘 모르겠습니다. 어쨌든 합의가 이루어진건가요...? --Skim (토론) 2015년 9월 17일 (목) 23:34:18 (KST)

괜찮습니다. 한편, 보통 수학에서 이럴 때는 정의를 해서 넘어가지 않나요… 세상에 유일성의 정의가 뭔지도 모르고 있었다니, 사실 이번 얘기 하면서 좀 놀랐습니다. 집합과 수리논리라는 제목의 강의를 수강한 적은 있는데, 돌이켜 보니 집합론 중에 공리적 집합론, 그것도 ZF 공리계만, 그것도 일부만 배운 것 같네요……. 수리논리는 어디 갔지…… 네네 대충 그런 것 같습니다. 고생하셨습니다. 그런데 어떻게 수정할지는 감이 잘 안 잡히네요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 17일 (목) 23:42:15 (KST)

일단 본문이 있는 내용은 "책에서 자주 쓰이는 방법" 정도로 서술하고, 유일성을 증명하는 것은 논리적으로 무엇을 뜻하는가에 대해 한 문단 더 서술하고 마지막으로 남아있는 의문점에 대해 서술하면 될것 같습니다. 떠넘기는 것 같지만 다른 수학 전공자가 와서 수정해 주기를 바라는 것도 괜찮겠죠? 사실 이미 나무위키와 내용이 크게 달라져서 차별화도 됬으니... --Skim (토론) 2015년 9월 17일 (목) 23:50:55 (KST)

네 타당한 말씀이신 것 같습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 18일 (금) 09:58:27 (KST)

존재성에 관하여

1. 24=2³·3을 제시하는 것이 왜 50점짜리 답인지 궁금합니다. 과정을 제시하지 못하기 때문이라고 하는데, 존재성이 말 그대로 존재하냐는 질문일 뿐이라면 과정을 제시할 이유가 없다고 생각합니다. 위의 2x+4=0에서도 “해가 ‘왜 존재하냐’라고 묻는다면, ‘-2를 넣어보니 되더라, 그러니까 존재해’라고 답해주면 된다.”라고 하여 과정을 묻지 않고 있는데, “‘24의 소인수분해가 왜 존재하냐?’ 라고 묻는다면 ‘24=23⋅3니까 존재해’라는 답은 50점 짜리 정답.”라고 하여 이번에만 과정을 묻는 이유가 잘 이해가 가지 않습니다. ‘왜 존재하냐’라는 질문이 서로 다른 뜻으로 쓰인 건지요? --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 16일 (수) 00:24:54 (KST)

방정식의 예를 들면, 해를 찾는다 → 대입하여 풀이 과정을 보인다 → 다른 일반적인 방정식에대해서도 같은 방법이 성립한다 이고, 소인수 분해의 경우는 소인수 분해를 찾는다 → 성립함을 보인다 → 하지만 모든 수가 2나 3으로 나눠떨어지지는 않으므로 일반적인 수에 대해서는 24를 소인수 분해와 같은 방법이 성립하지 않을 수도 있다는 관점에서 50점 짜리 정답이라 한 것입니다.--Skim (토론) 2015년 9월 16일 (수) 03:37:07 (KST)

둘이 관련 없는 질문이어서 제 임의로 위아래로 나눴습니다. 괜찮으시죠?

결국 어디까지를 ‘같은 방법’으로 볼 거냐의 문제인 것 같은데요, 예를 들어 2x+4=0에서의 ‘풀이 과정’이 유일성 파트에서 쓰신 대로 ‘4를 이항하고 2로 양변을 나눠 주면’이라고 한다면, ‘일반적인 방정식’에 대해서도 “4를 이항하고 2로 양변을 나눠 주면” 풀리는 것이 아니므로 “다른 일반적인 방정식에대해서도 같은 방법이 성립한다”는 말씀은 거짓이라고 할 수밖에 없습니다.

‘같은 방법이 성립한다’가 맞는 말이 되려면, ‘일반’화는(말씀하신 것처럼 일반적인 모든 방정식이 아닌) ax+b=0 꼴의 일차방정식들에 대한 것이고, 4를 이항하는 대신 b를 이항하는 것으로, 2로 양변을 나누는 대신 a로 양변을 나누는 것으로 선해해야 합니다.

소인수분해 문제에서의 ‘풀이 과정’이 2로 나눠 보고 3으로 나눠 보는 것이라고 한다면 말씀하신 것처럼 다른 일반적인 자연수에 대해서는 같은 방법이 성립하지 않겠네요.

그러나 ‘소인수를 찾아서 소인수로 나눠 본다’는 식으로 선해하거나, ‘n 이하의, 혹은 \sqrt{n} 이하의 소수로 나눠 본다’는 식으로 선해한다면 같은 방법이 성립합니다.

제가 보기엔 임의대로 전자에서는 선해를 하시고 후자에서는 선해를 안 하신 다음에 성립하지 않는다고 못박으신 걸로밖에 안 보입니다.

게다가 질문이 일반적인 수에 대한 것이 아니고 24에 대한 것이었습니다. 그런데 일반적인 수에 대해서 성립하지 않을 수도 있다는 사정을 들어 24에 대한 질문에 대한 답으로서 반쪽짜리라고 한다면 대답하는 사람 입장에서는 황당하겠죠. 아니 그럴 거면 일반적인 수에 대해서 물어봤어야죠. 질문은 이렇게 하고 머릿속에서는 저렇게 생각하고 있다가 그 다른 생각이랑 안 맞으니까 질문에 대한 답이 반쪽밖에 안 됐다고 하는 질문자는 좀 문제가 있는 것 같습니다. 제 생각에는 지금 본문에서 “24의 소인수분해가 왜 존재하냐?”라고 할 자리에서 이미 “모든 자연수에 대해 소인수분해가 존재하냐?” 정도의 질문을 꺼내야만 말이 될 것 같습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 16일 (수) 16:21:37 (KST)

2. 벡터공간의 기저… 알고리즘을 제시하면 되는 게 아니라고 하셨는데요, 좀 문제가 있지 않나요.

알고리즘이 이렇잖아요. 먼저 V=0이면 기저는 공집합이고 끝. 아니라면 non‐zero 벡터를 아무거나 하나 찾아서 v_1이라 하고, B_1={v_1}으로 놓으면 V=span(B_1)이면 끝. 아니라면 V＼span(B_1)은 공집합이 아니므로 여기 속하는 벡터 아무거나 하나 찾아서 v_2라 하고 B_2=B_1 ∪ {v_2}로 놓으면, V=span(B_2)이면 끝. 아니라면 … 이렇게 계속합니다. 만약 ‘유한 차원’이라면 유한 번 안에 끝나겠네요.

결국 문제는 유한 차원이 아닌 경우, 즉 위 알고리즘이 유한 번 안에 끝나는 경우가 아닌 경우에 발생합니다. 유한 번 안에 끝나지 않아도 끝까지 갈 수 있다고 보장해 주는 게 Zorn’s lemma인 거구요. 이것도 결국 알고리즘으로 볼 수 있는데 알고리즘으로 안 된다는 표현은 좀 문제가 있는 것 같습니다.

물론 ZF를 가정하면 벡터공간의 기저의 존재랑 AC랑 동치긴 하고, 따라서 벡터공간의 기저의 존재 자체를 공리화한 것으로 보면 이 말이 좀 안 맞기는 한데요, 앞서 말했듯 유한 차원인 경우에는 AC랑 무관한 것은 맞고, 알고리즘도 시도는 할 수 있는데 유한 번 안에 끝나지 않는다는 것이 문제였고, 유한 번 안에 끝나지 않아도 끝까지 갈 수 있다는 측면만 새로운 것으로서 공리화를 한 것으로 생각해야 자연스럽고, 아무 존재할 건덕지도 없는데 대뜸 존재성을 공리로 만들어도 되는 것처럼 해석되면 좀 곤란할 것 같습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 16일 (수) 01:15:07 (KST)

일반적인 벡터 공간입니다. 유한 차원의 벡터공간은 위 설명되로 하면 되지만, 무한 차원에서는 기계적인 유한한 절차에서 유한한 부분이 성립하지 않죠. 또한, 절차 자체도 기계가 할 수 없는 추상적인 과정을 동반할 가능성도 있습니다. 그렇기 때문에 알고리즘과 구분한 것이고요. 존재성을 공리로 만들었다기 보다는 다른 공리를 취함으로서 존재성의 증명의 가능성(?)을 보장한다라고 생각하면 되겠네요 --Skim (토론) 2015년 9월 16일 (수) 03:37:07 (KST)

그러면 왜 ‘기계적인 유한한 절차’만 OK이고 그 외의 절차는 OK가 아닌지 하는 질문이 필연적으로 등장합니다. 수학자들이 선택공리 혹은 가산선택공리 등을 도입하거나 도입하지 않거나 하여, 유한하지 않은 절차도 OK하기도 한다는 점을 생각해 보면 어디까지를 허용할 것인가는 다분히 합의의 문제라고 보입니다. 즉 소인수분해 파트에서 그냥 ‘기계적인 절차’이면 모두 OK라고 했어도 된다는 뜻입니다.

즉 지금 ‘알고리즘을 제시하는 것으로 안 되니까 공리를 도입’한다고 설명하셨는데요, 그 ‘안 되게’ 만든 게 결국 유한한 절차만으로 제한한 우리들이라는 겁니다. 그럴 거면 처음부터 유한한 절차만으로 제한하지 않았더라면 아무 문제가 없는 거잖아요. 그런데도 유한한 절차는 왜 되는지(그러니까 왜 공리로 보장할 필요가 없는지) 왜 유한한 절차만 되는지(그러니까 왜 유한한 것을 벗어난 절차에 대해서는 증명을 인정하지 않는지)에 대해서는 싹 숨기고 대뜸 ‘기계적인 유한한 절차’만 된다고 했던 것이죠. 장담할 순 없지만 가산선택공리 도입하는 것은 여기서 ‘기계적인 가산의 절차’까지 허용하는 것과 같고, 선택공리 도입하는 것은 여기서 ‘기계적인 절차’라면 전부 허용하는 것과 같다고 생각하는데요(말씀하신 “존재성의 증명의 가능성을 보장한다”는 내용이 결국 이 말씀 아닌지요), 이렇게 연장선상에서 볼 수 있는데도 어떻게 ‘알고리즘을 제시하는 것으로 안 된다’고 할 수 있는지 모르겠습니다.

벡터 하나 추가하고 스팬되는지 보고 또 하나 추가하고… 하는 알고리즘 자체는 똑같은데, 다만 그게 유한 번 안에 끝나는 유한 차원 벡터공간의 경우에는 문제가 없지만, 유한 번 안에 끝나지 않는 경우에 끝까지 끌고가기 위해서 Zorn’s lemma가 필요한 것뿐이잖아요. 결국 전자도 알고리즘으로 해결한 것이고 후자도 알고리즘으로 해결한 것으로밖에 안 보이는데요. 이게 알고리즘이 아니면 뭘까요. 또 알고리즘이 똑같은 지금은 추상적인 과정을 동반할 가능성이라는 말씀은 의미가 없다고 생각합니다. 만약 일반적인 벡터공간에 대해서 문제된다면 유한 차원 벡터공간에 대해서도 문제되었을 것입니다. 유한 차원 벡터공간에 대해서 문제삼지 않은 이상 일반적인 벡터공간에 대해서도 문제삼으면 안 됩니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 16일 (수) 16:21:37 (KST)

소인수 분해에 대한 질문이 부적절한건 맞습니다. 하지만 전 이 글을 차음 쓸 때 일반인들을 대상으로 썼고, 구체적인 수가 있는 쪽이 좋을 것이라 생각해 24를 고른 것입니다. 그리고 존재성 문단은 구체적 방법에서 추상적 방법으로 점점 확장시킨 (국어적) 논리전개입니다. 구체적인 수를 대입 -> 1부터 차례로 나누는 기계적 유한한 알고리즘 -> 그 외의 더 추상적인 경우 이런식으로 말이죠. 무한 차원의 벡터공간은, 그 공리가 없으면 증멍이 불가능하고, 그 공리를 취한 뒤에 알고리즘을 쓴다고 생각하시는 것 같은데, 설녕 그렇다 해도 원래 취지인 간단한 것에서 추상적인 것으로 확장시킨다는 것은 똑같습니다. --Skim (토론) 2015년 9월 16일 (수) 21:02:19 (KST)

구체적인 수가 있는 쪽이 좋다는 말씀에 대해서는, 저도 같은 생각입니다. 다만 제 주장은 구체적인 수를 제공한 이상 질문에 상응하는 답을 하면 인정해 주어야 하고 그 이상의 것이 아니라는 점을 탓하기는 어렵다는 것이었구요. 부적절하다고 하셨으니 저도 더 이야기하지 않겠습니다.

한편, 구체적 방법에서 추상적 방법으로 점점 확장시키셨다는 취지를 생각하면서 다시 읽어 봐야 하겠네요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 9월 17일 (목) 15:15:17 (KST)