외접 사각형에 관해[원본 편집]
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제 생각에, 첫째 둘째 셋째 조건 공히, 뭔가 조건을 하나 더 주지 않으면 원이 내접하지 않고 방접(?)하는 경우와 구별이 안 될 것 같습니다. 볼록사각형이라는 조건을 주어야 할까요? --휴면유동닉 (토론) 2015년 8월 16일 (일) 01:30:30 (KST)
- 두 번째, 세 번째 조건은 만족하는 것 자체가 볼록사각형임을 의미합니다. 오목사각형으로는 두번째, 세번째 조건을 절대 만족할 수가 없지요. 첫 번째 조건은 증명이 있으니 그 자체로 볼록사각형을 의미한다고 생각합니다. --Skim (토론) 2015년 8월 16일 (일) 01:33:52 (KST)
- 아뇨 그렇지 않습니다. (두 번째 조건) 오목사각형이면 네 변에 이르는 거리가 모두 같은 점이 사각형 외부에 존재할 수 있겠죠. (세 번째 조건) 왜 만족할 수 없나요. 대칭적인 쐐기 모양 같은 것만 생각해 보셔도 분명히 사각형 내부의 한 점에서 만나는데요.
- (첫 번째 조건) 증명 자체가 잘못된 것입니다. 현재 증명은 아무 생각 없이 볼록사각형임을 전제하고 있습니다. 예를 들어 E가 A와 B 사이에 오는지 어떻게 장담합니까. --휴면유동닉 (토론) 2015년 8월 16일 (일) 01:40:33 (KST)
- 오목사각형일 경우 네 변에 이르는 거리가 모두 같은 점이 외부에 존재하지 않을 것 같습니다. 그림은 없지만 평면을 사각형의 변의 연장선으로 나눴을 때, 각 부분의 한 수선은 다른 수선 보다 길이가 길어 보입니다.
- 첫 번째와 세 번째는 확실히 볼록사각형이란 조건이 필요해 보입니다. 볼록사각형일 경우 증명엔 문제가 없습니다. 그런데 오목사각형이 원에 외접할 수가 있나요? 방접하는 경우도 잘 상상이 안갑니다만... --Skim (토론) 2015년 8월 16일 (일) 01:54:37 (KST)
- 어떤 반원을 생각하고, 거기에 서로 겹치지 않는 접선 네 개를 그으면, 그 네 개의 접선이 이루는 오목사각형에 대해서는 네 변에 이르는 거리가 모두 같은 점, 즉 그 반원의 중심이 존재하겠네요(접선 네 개를 시계방향으로 a, b, c, d라고 이름을 붙일 경우, a와 b의 교점, b와 c의 교점, c와 d의 교점 그리고 d와 a의 교점이 이루는 오목사각형을 말씀드리는 것입니다).
- 지금 첫 번째 조건이 말하는 명제가 “두 쌍의 대변의 길이의 합이 같으면, 그 사각형은 원에 외접한다”잖아요. 근데 “두 쌍의 대변의 길이의 합이 같은” 사각형은 볼록사각형도 있지만 오목사각형도 있죠. 볼록사각형은 원에 외접하는지 모르겠지만, 오목사각형은(제 생각에) 원에 외접하지 않고 방접(?)할 것 같습니다. 그럼 명제가 틀렸네요. 그러면 저걸 외접 조건이라고 할 수 없지 않습니까. 그걸 말씀드리는 겁니다. 뭔가 조건을 하나 더 주어야 하지 않느냐는 말씀입니다. 오목사각형이 원에 외접할 수 있냐는 질문은 오히려 제가 작성자 님께 드려야 할 질문입니다. 오목사각형이 원에 외접할 수 없으면 저걸 조건이라고 써 놓으면 안 되죠.
- 세 번째 조건의 경우에도 네 각의 이등분선이 한 점에서 만나는 사각형은 볼록사각형도 있지만 오목사각형도 있죠. 볼록사각형은 원에 외접하는지 모르겠지만, 오목사각형은…… 이번엔 방접하는지조차 모르겠네요. 최소한 그 점이 내접원의 중심이 되는 것은 절대 아닙니다. 방접한다고 해도 방접원의 중심도 안 되겠네요. 사각형 내부에 있으니까요. --휴면유동닉 (토론) 2015년 8월 16일 (일) 02:06:11 (KST)
- 볼록사각형의 경우 증명에 문제는 없다고 하셨는데요, 예를 들어 제가 제기한 의문은 해소가 되는지 좀 설명을 해 주시면 좋겠습니다. 볼록사각형이고 대변 길이 조건만 만족한다는 사실만으로 항상 E는 A와 B 사이에 온다는 것을 설명할 수 있습니까?(아마 내접원이 존재할 테니까 항상 A와 B 사이에 오긴 하겠죠…… 다만 제 말은 설명(증명)할 수 있냐는 겁니다) 만약 그렇지 않다면 저 증명은 엄밀한 증명이 아닌, 직관에 호소하는 증명일 수밖에 없습니다. --휴면유동닉 (토론) 2015년 8월 16일 (일) 02:09:15 (KST)
- 세 조건 모두 확실히 볼록사각형이라는 조건이 필요하겠네요. 또한, 볼록사각형의 이웃한 두 내각의 이등분선은 반드시 사각형 내부에서 만납니다. 점 E가 사각형 외부에 존재할 수도 있습니다만, 그렇게 되면 한각이 180도를 넘어가 볼록사각형이라는 가정에 모순이 됩니다. 적당히 그림을 그려서 코사인 법칙을 활용하시면 됩니다. --Skim (토론) 2015년 8월 16일 (일) 04:13:33 (KST)