이중선형형식

정의

[math]\displaystyle{ U,V }[/math]를 체 F 위에서 정의된 벡터공간이라 하자. 함수 [math]\displaystyle{ f:U\times V\to F }[/math]가 다음 성질

• [math]\displaystyle{ f(a_1\mathbf{u}_1+a_2\mathbf{u}_2,\mathbf{v})=a_1 f(\mathbf{u}_1,\mathbf{v})+a_2 f(\mathbf{u}_2,\mathbf{v}) }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(\mathbf{u},b_1\mathbf{v}_1+b_2\mathbf{v}_2)=b_1 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_1)+b_2 f(\mathbf{u},\mathbf{v}_2) }[/math]

을 만족하면, f를 U와 V 위의 이중선형형식(Bilinear form)이라고 한다.

벡터공간 [math]\displaystyle{ U,V }[/math]의 기저를 각각 [math]\displaystyle{ B_1=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\cdots,\mathbf{u}_m\} }[/math], [math]\displaystyle{ B_2=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\} }[/math]이라 하고, f를 U와 V의 이중선형형식이라 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ a_{ij}=f(\mathbf{u}_i,\mathbf{v}_j) }[/math]

를 성분으로 가지는 m×n 행렬 [math]\displaystyle{ A=[a_{ij}] }[/math]를 [math]\displaystyle{ B_1,B_2 }[/math]에 관한 f의 행렬이라고 한다.

[math]\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_m \end{bmatrix}, Y=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix} }[/math]

를 각각 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}\in U,\mathbf{v}\in V }[/math]의 좌표행렬(coordinate matrix)이라고 하자. 그러면 A가 U와 V의 이중선형형식 f를 나타내는 행렬일 필요충분조건은 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}\in U,\mathbf{v}\in V }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ f(\mathbf{u},\mathbf{v})=X^T AY }[/math]

인 것이다.

성질

[math]\displaystyle{ f,g }[/math]를 체 F 위의 벡터공간 [math]\displaystyle{ U,V }[/math] 위의 이중선형형식이라고 하자. 이중선형형식의 합과 곱을 다음과 같이 정의하자.

• [math]\displaystyle{ (f+g)(\mathbf{u},\mathbf{v})=f(\mathbf{u},\mathbf{v})+g(\mathbf{u},\mathbf{v}) }[/math]
• [math]\displaystyle{ (cf)(\mathbf{u},\mathbf{v})=c\cdot f(\mathbf{u},\mathbf{v}) }[/math] (단, [math]\displaystyle{ c\in F }[/math])

그러면 [math]\displaystyle{ U,V }[/math] 위의 모든 이중선형형식들의 집합은 벡터공간이다.