영인자

정의

환 R의 원소 a가 다음 성질

• [math]\displaystyle{ a\ne 0_R }[/math]
• [math]\displaystyle{ ac=0_R }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ ca=0_R }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in R }[/math]이 존재한다.

를 만족하면 영인자(zero divisor)라고 한다.

한편, R의 원소 a에 대해 [math]\displaystyle{ ac=0_R }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in R }[/math]가 존재하면 좌영인자(left zero divisor)라고 하며, [math]\displaystyle{ ca=0_R }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in R }[/math]가 존재하면 우영인자(right zero divisor)라고 한다. 즉, 환의 어떤 원소가 영인자일 필요충분조건은 그 원소가 좌영인자이거나 우영인자인 것이다. 그리고 좌영인자인 동시에 우영인자인 원소를 양쪽영인자(two-sided zero divisor)라고 한다.

성질

• 영인자는 단원(unit)이 될 수 없다.
• 정역에는 영인자가 없다.