분포[편집 | 원본 편집]
분포(distribution) 또는 일반화된 함수(generalized function)는 함수나 확률 분포 등을 일반화한 것을 말한다. 가장 유명한 '함수 아닌 분포'는 디랙 델타. 이 개념은 Laurent-Moïse Schwartz에 의하여 처음으로 엄밀하게 정의되었고, 이 공로로 인하여 1950 년에 필즈 상을 수상했다.
디랙 델타는 함수인가?[편집 | 원본 편집]
영국의 물리학자인 폴 디랙은 디랙 델타 함수라는 개념을 정의하고 사용하였다. 이것은 다음을 만족하는 함수(?)이다.
- [math]\displaystyle{ \delta(x) =\left\{\begin{matrix} +\infty , \quad x=0 \\ 0 , \quad \text{otherwise} \end{matrix}\right. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_\mathbb R \delta (x) \; \mathrm dx = 1. }[/math]
당연하게도, 이것은 함수가 아니다. Extended real-valued 함수라고 해도, [math]\displaystyle{ 2\infty = \infty }[/math]로 정의되기 때문에, 적분의 선형성, 즉
- [math]\displaystyle{ \int_\mathbb R 2 \delta (x) \; \mathrm dx = 2 \int_\mathbb R \delta (x) \; \mathrm dx }[/math]
를 만족하지 못한다. 하지만, 이런 개념이 물리학에서는 매우 유용하게 사용되었다. 그러니 이 개념을 버릴 수도 없고, 그렇다고 쓰자니 뭔가 찜찜한, 그런 상황이 이어졌던 것이다. 하지만 이는 슈바르츠에 의해 엄밀하게 정의됨으로써 해결된다.