맥스웰 관계식

전자기학에서 등장하는 방정식에 관한 내용은 맥스웰 방정식 문서를 읽어 주세요.

개요

맥스웰 관계식(Maxwell relations)은 열역학 퍼텐셜의 편미분으로 얻을 수 있는 등식이며, 아래 네 개의 방정식

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S = \left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_p }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial S}{\partial p}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_V }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ T }[/math]는 온도, [math]\displaystyle{ V }[/math]는 부피, [math]\displaystyle{ p }[/math]는 압력, [math]\displaystyle{ S }[/math]는 엔트로피이다.

유도

다음 등식

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V }[/math]

이 성립함을 확인하자. 내부 에너지 [math]\displaystyle{ E }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ dE=TdS - pdV }[/math]

인데,

[math]\displaystyle{ dE=\left(\frac{\partial E}{\partial S}\right)_V dS +\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_S dV }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial E}{\partial S}\right)_V=T }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_S=-p }[/math]

이다. 이때

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial V}\left(\frac{\partial E}{\partial S}\right)_V=\frac{\partial}{\partial S}\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_S }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V }[/math]

임을 안다. 이와 같은 방법으로

[math]\displaystyle{ dH=TdS+Vdp }[/math]

[math]\displaystyle{ dF=-SdT-pdV }[/math]

[math]\displaystyle{ dG=-SdT+Vdp }[/math]

에서 나머지 세 식을 유도할 수 있다. 이때 [math]\displaystyle{ H=E+pV }[/math]는 엔탈피, [math]\displaystyle{ F=E-TS }[/math]는 헬름홀츠 자유 에너지, [math]\displaystyle{ G=E-TS+pV }[/math]는 기브스 자유 에너지이다.

참고 문헌

• F. Reif (2009). Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. Waveland Press, Inc. ISBN 1-4786-3189-9.