라그랑주 승수법

진술

[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]의 열린 부분집합인 U에서 정의된, 미분가능하고 도함수가 연속인 함수[math]\displaystyle{ f,g:U\to\mathbb{R} }[/math]에 대해, f가 다음 곡면

[math]\displaystyle{ S=\{X\in U\vert g(X)=c\} }[/math]

에 제한된다고 하자. [math]\displaystyle{ P\in S }[/math]가 f의 극점이면, [math]\displaystyle{ \nabla f(P),\nabla g(P) }[/math]는 일차종속이다. 즉,

[math]\displaystyle{ \lambda_1\nabla f(P)+\lambda_2\nabla g(P)=0 }[/math]

인 영이 아닌 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R} }[/math]이 존재한다. 만약 [math]\displaystyle{ \nabla g(P)\ne \mathbf{0} }[/math]이면

[math]\displaystyle{ \nabla f(P)=\lambda \nabla g(P) }[/math]

인 영이 아닌 [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{R} }[/math]이 존재한다.

예

함수 [math]\displaystyle{ f(x,y)=xy }[/math]에 대해 제한조건 [math]\displaystyle{ x+y=1 }[/math]이 걸렸을 때, [math]\displaystyle{ g(x,y)=x+y }[/math]라고 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ \nabla f(x,y)=(y,x),\;\nabla g(x,y)=(1+y,x+1) }[/math]

이므로 극점에서

[math]\displaystyle{ (y,x)=\lambda(1+y,x+1) }[/math]

인 [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{R} }[/math]이 존재한다. 즉,

[math]\displaystyle{ (1-\lambda)y=\lambda,\;(1-\lambda)x=\lambda }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ \lambda\ne 1 }[/math]이므로,

[math]\displaystyle{ x+y=\frac{2\lambda}{1-\lambda}=1 }[/math]

이고 정리하면

[math]\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{3} }[/math]

이다. 이때 [math]\displaystyle{ x=y=\frac{1}{2} }[/math]이므로, f는 [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) }[/math]에서 극값을 가짐을 알 수 있다.