디리클레 지표(Dirichlet character)는 정수에서 복소수로 대응하는 주기성을 가지는 함수이다. 문자는 일반적으로 [math]\displaystyle{ \chi }[/math]를 쓴다.
디리클레 L-함수는 이 지표를 사용하여 정의한다.
- [math]\displaystyle{ L(s, x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s} }[/math]
함수의 조건[편집 | 원본 편집]
어떤 자연수 [math]\displaystyle{ k }[/math]를 주기로 하는 디리클레 지표는 아래 조건을 만족한다.
- [math]\displaystyle{ \chi(n)=\chi(n+k) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \chi(n)=\begin{cases} 0 &(\gcd(n, k)\gt 1) \\ \text{nonzero} &(\gcd(n, k)=1) \end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \chi(mn)=\chi(m)\chi(n) }[/math], 즉 지표는 완전 곱셈적이다.
이렇게 주기성이 있는 함수는 [math]\displaystyle{ \chi: \mathbb{Z}/k\mathbb{Z} \to \mathbb{C} }[/math]로 대응한다고 볼 수 있고, [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod k }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \chi(a)=\chi(b) }[/math]이다.
셋째 조건에서 [math]\displaystyle{ m=n=1 }[/math]을 대입하면 [math]\displaystyle{ \chi(1)=\chi(1)^2 }[/math]이다. 그런데 이 경우 함수의 주기에 관계 없이 [math]\displaystyle{ \gcd(n, k)=1 }[/math]이므로 둘째 조건에 의해 [math]\displaystyle{ \chi(1) \neq 0 }[/math]이며, 이는 곧 [math]\displaystyle{ \chi(1)=1 }[/math]임을 의미한다. 또한 [math]\displaystyle{ k=1 }[/math]이면 첫째 조건에 따라 모든 자연수에 대해 지표 값이 전부 동일하게 되므로, [math]\displaystyle{ \chi(n)=1 }[/math]이다.
한편 오일러의 정리로부터, [math]\displaystyle{ \gcd(n, k)=1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ n^{\varphi(k)} \equiv 1 \pmod k }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \chi(n^{\varphi(k)})=\chi(n)^{\varphi(k)}=1 }[/math]이다. 즉 [math]\displaystyle{ \chi(n) }[/math]은 1의 복소수 거듭제곱이며, 어떤 정수 [math]\displaystyle{ r }[/math]이 존재해서 [math]\displaystyle{ \exp \left(\frac{2r\pi i}{\varphi(k)}\right) }[/math]의 꼴이 된다. 나아가 [math]\displaystyle{ |\chi(n)|=1 }[/math]임을 알 수 있다.
이때 [math]\displaystyle{ \gcd(n, k)=1, n \not\equiv 1 \pmod k }[/math]인 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]의 값은 유일하게 정해지지 않으며, 디리클레 지표도 같은 주기 [math]\displaystyle{ k }[/math]에 대해 여러 가지가 나올 수 있다.
그 중 [math]\displaystyle{ \chi_0(n)=\begin{cases} 0 &(\gcd(n, k)\gt 1) \\ 1 &(\gcd(n, k)=1) \end{cases} }[/math]과 같이 0 아니면 1로 정해지는 지표를 주지표(principal character)라 한다.
또한 함숫값이 0, 1, -1로만 결정되는 지표도 생각할 수 있는데, 특히 [math]\displaystyle{ k }[/math]가 3 이상의 홀수이면 야코비 기호, 즉 [math]\displaystyle{ \chi(n)=\left(\frac{n}{k} \right) }[/math]이 된다.
성질[편집 | 원본 편집]
일정한 디리클레 지표 내에서 각 지표의 값들을 더하면 주지표일 때 오일러 피 함수 값, 나머지 지표에서는 0이 나온다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} \chi(n)= \begin{cases}\varphi(k) & (\chi=\chi_0) \\ 0 & (\chi \neq \chi_0) \end{cases} }[/math]
또, 일정한 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 서로 다른 디리클레 지표들을 더하면
- [math]\displaystyle{ \sum_{\chi} \chi(n)= \begin{cases}\varphi(k) & (n \equiv 1 \pmod k) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases} }[/math]
지표 예시[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ k=1 }[/math]일 때에는 지표는 오직 하나다: [math]\displaystyle{ \chi(n)=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ k=2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \chi(0)=0, \chi(1)=1 }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ k \geq 3 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \varphi(k) \geq 2 }[/math]이므로 지표 함수도 여러 가지가 나온다. 이는 아래 표로 정리한다.
[math]\displaystyle{ \chi_j(n) }[/math]에서 아래 첨자가 0인 것이 주지표이고, 나머지는 구분을 위해 번호를 붙여둔 것이다. 함숫값은 [math]\displaystyle{ \gcd(n, k)=1 }[/math]인 경우만 적어두며, ☆ 표시는 르장드르 기호 역할을 한다.
§ [math]\displaystyle{ k=3, \varphi(k)=2 }[/math]
| [math]\displaystyle{ n \mod k }[/math] | 1 | 2 |
|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ \chi_0(n) }[/math] | 1 | 1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] ☆ | 1 | -1 |
이 표는 [math]\displaystyle{ k=4, n \equiv 1, 3 \pmod 4 }[/math]일 때와 [math]\displaystyle{ k=6, n \equiv 1, 5 \pmod 6 }[/math]일 때에도 쓸 수 있다.
§ [math]\displaystyle{ k=5, \varphi(k)=4 }[/math]
| [math]\displaystyle{ n \mod k }[/math] | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ \chi_0(n) }[/math] | 1 | 1 | 1 | 1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ i }[/math] | [math]\displaystyle{ -i }[/math] | -1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] ☆ | 1 | -1 | -1 | 1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_3(n) }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ -i }[/math] | [math]\displaystyle{ i }[/math] | -1 |
이 표는 [math]\displaystyle{ k=10 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ n \mod k }[/math]를 순서대로 1, 7, 3, 9로 바꾼 경우에도 적용할 수 있다.
§ [math]\displaystyle{ k=8, \varphi(k)=4 }[/math]
| [math]\displaystyle{ n \mod k }[/math] | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ \chi_0(n) }[/math] | 1 | 1 | 1 | 1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] | 1 | 1 | -1 | -1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] | 1 | -1 | 1 | -1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_3(n) }[/math] | 1 | -1 | -1 | 1 |
이 표는 [math]\displaystyle{ k=12 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ n \mod k }[/math]를 순서대로 1, 5, 7, 11로 바꾼 경우에도 적용할 수 있다.
§ [math]\displaystyle{ k=7, \varphi(k)=6, \omega=e^{\pi i/3}, \omega^3=-1 }[/math]
| [math]\displaystyle{ n \mod k }[/math] | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ \chi_0(n) }[/math] | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \omega }[/math] | [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] | [math]\displaystyle{ -\omega^2 }[/math] | -1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] | [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] | 1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_3(n) }[/math] ☆ | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_4(n) }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] | [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] | [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] | 1 |
| [math]\displaystyle{ \chi_5(n) }[/math] | 1 | [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] | [math]\displaystyle{ -\omega^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] | [math]\displaystyle{ \omega }[/math] | -1 |
이처럼 디리클레 지표의 가짓수와 함숫값이 0 이 아닌 [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}/k\mathbb{Z} }[/math]의 개수는 각각 [math]\displaystyle{ \varphi(k) }[/math]개씩임을 알 수 있다.