개요
0.999... = 1은 사람들이 흔히 수학계의 영원한 떡밥이라고 착각하는 참인 명제 중 하나이다. 가끔 evergreenc 같은 유사수학자들이 이를 말도 안 되는 논리를 들어 거짓이라고 설명증명하고는 한다.
먼저 실수의 십진표현에 대하여 알아보자. 어떤 0 이상 1미만의 실수 [math]\displaystyle{ a\in [0, 1) }[/math]에 대하여 어떤 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} \; (a_n = 0, 1, \cdots ,9 \text{ for }n\in\mathbb N) }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ a = \sum_i a_i 10^{-i} }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ a=. \overline{a_1 a_2 a_3 \cdots} }[/math]로 표시하는 것이다. 그외의 범위에 대해서는 [math]\displaystyle{ x = \lfloor x \rfloor + a }[/math]에서 정의된다. 즉, 우리가 알고 있던 무한소수는 사실 무한급수이다.
증명이라고 착각하는 것들
이하, 제발 이런 걸 증명이라고 하지 말아달라는 것들의 예시이다.
1
“ 1은 1.000...과 같다. 즉 1=1.000...
1.000...에서 0.999...를 뺀다.
그 결과는 0.000...
소수점 아래로 0이 무한 개가 나온다.
즉 1에서 0.999...를 뺀 건 0이랑 별 차이 없다고 볼 수 있다.
그래서 0.999...는 1과 별 차이 없다.”
무한급수를 거론하지 않고서는 (아래 증명도 마찬가지로) 무한소수의 연산을 할 수 없다. 또한 별 차이 없다는 전혀 수학적인 표현이 아니며, 차이가 작다고 해서 완전히 같은 대상인 것이 아니다.
근데 이렇게 생각하는 사람도 있었나ㅡㅡ
증명
1
{{{1}}}
“ 0.999...를 x라 하자.
x = 0.999...
10x=9.999...
10x - x = 9.999... - 0.999...이므로,
9x = 9, x=1
따라서 0.999...는 1이 된다.”
중학교 교과과정에서 이런 식의 증명을 하지만, 이런 논리를 펼치면 9x = 0.8999...1이라는 사람이 꼭 나타나게 된다.
도대체 무한이라면서 마지막이 왜 있는걸까?
2
“ 0.999...는 초항이 0.9이고 공비가 [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]인 무한등비급수로 볼 수 있다. 따라서
[math]\displaystyle{ 0.999\cdots = \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{9}{10} \right )\left ( \frac{1}{10} \right )^k=\frac{9}{10}\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k }[/math]여기서 우변의 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k }[/math]는 첫째항이 1이고 공비가 [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]인 등비수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]의 급수이므로
[math]\displaystyle{ a_{n}=10^{-n}, \; \lim \sum_{k=1}^{n} a_k=\lim \frac{10-10^{-n+1}}{9} = \frac{10}9, }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{9}{10}\times \frac{10}{9}=1 }[/math]이다.
”
고교 과정에서 배우는 등비급수를 이용한 증명이다. 이때 이 급수의 수렴성은 자명하므로 옳은 증명이 된다. 수렴성 보여주세요
설명
사실 엄밀한 증명은 아니지만, 위의 증명을 보고도 아직도 이해하지 못하는 위키러를 위하여 간단히 설명해보자.
1÷9를 연필과 종이를 가지고 직접 계산하던지, 아니면 계산기를 꺼내어 실행해보자. 몇이 나오는가? 0.111… 이다. 즉, 0.111…=1/9이다.
- 0.111… = 1/9
- 9 * 0.111… = 9 * 1/9
- 0.999… = 1