개요
0.999... = 1은 사람들이 흔히 수학계의 영원한 떡밥이라고 착각하는 참인 명제 중 하나이다. 가끔 evergreenc 같은 유사수학자들이 이를 말도 안 되는 논리를 들어 거짓이라고 설명증명하고는 한다.
먼저 실수의 십진표현에 대하여 알아보자. 어떤 0 이상 1미만의 실수 [math]\displaystyle{ a\in [0, 1) }[/math]에 대하여 어떤 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} \; (a_n = 0, 1, \cdots ,9 \text{ for }n\in\mathbb N) }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ a = \sum_i a_i 10^{-i} }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ a=. \overline{a_1 a_2 a_3 \cdots} }[/math]로 표시하는 것이다. 그외의 범위에 대해서는 [math]\displaystyle{ x = \lfloor x \rfloor + a }[/math]에서 정의된다. 즉, 우리가 알고 있던 무한소수는 사실 무한급수이다.
증명이라고 착각하는 것들
이하, 제발 이런 걸 증명이라고 하지 말아달라는 것들의 예시이다.
1
“ 1은 1.000...과 같다. 즉 1=1.000...
1.000...에서 0.999...를 뺀다.
그 결과는 0.000...
소수점 아래로 0이 무한 개가 나온다.
즉 1에서 0.999...를 뺀 건 0이랑 별 차이 없다고 볼 수 있다.
그래서 0.999...는 1과 별 차이 없다.”
무한급수를 거론하지 않고서는 (아래 증명도 마찬가지로) 무한소수의 연산을 할 수 없다. 또한 별 차이 없다는 전혀 수학적인 표현이 아니며, 차이가 작다고 해서 완전히 같은 대상인 것이 아니다.
근데 이렇게 생각하는 사람도 있었나ㅡㅡ
증명
1
{{{1}}}
“ 0.999...를 x라 하자.
x = 0.999...
10x=9.999...
10x - x = 9.999... - 0.999...이므로,
9x = 9, x=1
따라서 0.999...는 1이 된다.”
중학교 교과과정에서 이런 식의 증명을 하지만, 이런 논리를 펼치면 9x = 0.8999...1이라는 사람이 꼭 나타나게 된다.
도대체 무한이라면서 마지막이 왜 있는걸까?
2
“ 0.999...는 초항이 0.9이고 공비가 [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]인 무한등비급수로 볼 수 있다. 따라서
[math]\displaystyle{ 0.999\cdots = \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{9}{10} \right )\left ( \frac{1}{10} \right )^k=\frac{9}{10}\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k }[/math]여기서 우변의 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k }[/math]는 첫째항이 1이고 공비가 [math]\displaystyle{ \frac{1}{10} }[/math]인 등비수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]의 급수이므로
[math]\displaystyle{ a_{n}=10^{-n}, \; \lim \sum_{k=1}^{n} a_k=\lim \frac{10-10^{-n+1}}{9} = \frac{10}9, }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{9}{10}\times \frac{10}{9}=1 }[/math]이다.
”
고교 과정에서 배우는 등비급수를 이용한 증명이다. 이때 이 급수의 수렴성은 자명하므로 옳은 증명이 된다. 수렴성 보여주세요
설명
사실 엄밀한 증명은 아니지만, 위의 증명을 보고도 아직도 이해하지 못하는 위키러를 위하여 간단히 설명해보자.
계산기를 꺼내어 1나누기 9를 실행해보자. 몇이 나오는가? 0.111… 이다. 즉, 0.111…=1/9이다.
- 0.111… = 1/9
- 9 * 0.111… = 9 * 1/9
- 0.999… = 1