헤세 행렬: 두 판 사이의 차이

2021년 4월 29일 (목) 07:26 기준 최신판

정의[편집 | 원본 편집]

두 번 미분가능하고 이계도함수가 연속인 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} }[/math]에 대해, 함수값을 [math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,\cdots,x_n) }[/math]라 하자. 이때 행렬

[math]\displaystyle{ H(f)=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_n} \end{bmatrix} }[/math]

을 헤세 행렬(Hessian matrix), 또는 헤시안(Hessian)이라 한다. 이계도함수가 연속이라는 가정 때문에 편미분 교환법칙이 성립하여 헤세 행렬은 대칭행렬이다.

예[편집 | 원본 편집]

이변수함수 [math]\displaystyle{ f(x,y)=x^3+y^3-3xy }[/math]가 주어졌다고 하자. 그러면 f의 헤세 행렬은

[math]\displaystyle{ H(f)=\begin{bmatrix} 6x & -3\\ -3 & 6y \end{bmatrix} }[/math]

이다.

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-{{학술 관련 정보}}
-{{토막글}}
 == 정의 ==
-두 번 [[미분가능]]하고 이계도함수가 [[연속]]인 함수 <math>f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>에 대해, 함수값을 <math>f(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math>라 하자. 이때 [[행렬 (수학)|행렬]]
+두 번 [[미분가능]]하고 이계도함수가 [[연속]]인 함수 <math>f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>에 대해, 함수값을 <math>f(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math>라 하자. 이때 [[행렬]]
-: <math>H(f)=\begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\end{bmatrix}</math>
+: <math>H(f)=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-를 '''헤세 행렬(Hessian matrix)''', 또는 '''헤시안(Hessian)'''이라 한다.
+\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}\\
+\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n}\\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
+\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_n}
+\end{bmatrix}</math>
+을 '''헤세 행렬(Hessian matrix)''', 또는 '''헤시안(Hessian)'''이라 한다. 이계도함수가 연속이라는 가정 때문에 편미분 교환법칙이 성립하여 헤세 행렬은 [[대칭행렬]]이다.
+== 예 ==
+이변수함수 <math>f(x,y)=x^3+y^3-3xy</math>가 주어졌다고 하자. 그러면 ''f''의 헤세 행렬은
+: <math>H(f)=\begin{bmatrix}
+x & -3\\
+-3 & 6y
+\end{bmatrix}</math>
+이다.
 [[분류:미적분학]]
 [[분류:행렬]]