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[[위상공간]] ''X''의 서로 다른 임의의 점 <math>a,b\in X</math>에 대해 [[서로소]]인 [[열린 집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in U, b\in V</math>이면 ''X''를 '''하우스도르프 공간(Hausdorff space)'''이라고 한다. | [[위상공간]] ''X''의 서로 다른 임의의 점 <math>a,b\in X</math>에 대해 [[서로소]]인 [[열린 집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in U, b\in V</math>이면 ''X''를 '''하우스도르프 공간(Hausdorff space)''', 또는 '''<math>T_2</math> 공간'''이라고 한다. | ||
== 예시 == | == 예시 == | ||
2015년 8월 21일 (금) 15:58 판
정의
위상공간 X의 서로 다른 임의의 점 [math]\displaystyle{ a,b\in X }[/math]에 대해 서로소인 열린 집합 [math]\displaystyle{ U,V\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in U, b\in V }[/math]이면 X를 하우스도르프 공간(Hausdorff space), 또는 [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] 공간이라고 한다.
예시
- 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.
성질
- 하우스도르프 공간에서 수렴하는 점열의 극한값은 유일하다.
하우스도르프 공간 X에서 수렴하는 점열 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 서로 다른 극한값이 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]라고 가정하자. 그러면 하우스도르프 공간의 정의에 의해 서로소인 [math]\displaystyle{ O_a,O_b\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in O_a , b\in O_b }[/math]이다. 그리고 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]이 수렴하므로 [math]\displaystyle{ N_a,N_b\in\mathbb{N} }[/math]이 존재하여 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N_a , n \gt N_b }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a , x_n \in O_b }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n \gt \max\{N_a,N_b\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a \cap O_b }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ O_a, O_b }[/math]가 서로소이므로 [math]\displaystyle{ O_a \cap O_b = \emptyset }[/math]이고, 원소가 공집합에 포함된다는 것은 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 극한값이 둘 이상일 수는 없다.