하우스도르프 공간: 두 판 사이의 차이

2015년 8월 21일 (금) 15:47 판

정의

위상공간 X의 서로 다른 임의의 점 [math]\displaystyle{ a,b\in X }[/math]에 대해 서로소인 열린 집합 [math]\displaystyle{ U,V\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in U, b\in V }[/math]이면 X를 하우스도르프 공간(Hausdorff space)이라고 한다.

예시

모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.

성질

하우스도르프 공간에서 수렴하는 점열의 극한값은 유일하다.

하우스도르프 공간 X에서 수렴하는 점열 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 서로 다른 극한값이 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]라고 가정하자. 그러면 하우스도르프 공간의 정의에 의해 서로소인 [math]\displaystyle{ O_a,O_b\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in O_a , b\in O_b }[/math]이다. 그리고 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]이 수렴하므로 [math]\displaystyle{ N_a,N_b\in\mathbb{N} }[/math]이 존재하여 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N_a , n \gt N_b }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a , x_n \in O_b }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n \gt \max\{N_a,N_b\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a \cap O_b }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ O_a, O_b }[/math]가 서로소이므로 [math]\displaystyle{ O_a \cap O_b = \emptyset }[/math]이고, 원소가 공집합에 포함된다는 것은 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 극한값이 둘 이상일 수는 없다.

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 == 정의 ==
-[[위상공간]] ''X''의 서로 다른 임의의 점 <math>a,b\in X</math>에 대해 [[서로소]]인 [[열린 집합]] <math>U,V\subset X</math>가 존재해 <math>a\in U, b\in V</math>이면 ''X''를 '''하우스도르프 공간(Hausdorff space)'''이라고 한다.
+[[위상공간]] ''X''의 서로 다른 임의의 점 <math>a,b\in X</math>에 대해 [[서로소]]인 [[열린 집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in U, b\in V</math>이면 ''X''를 '''하우스도르프 공간(Hausdorff space)'''이라고 한다.
 == 예시 ==
 * 모든 [[거리공간]]은 하우스도르프 공간이다.
+== 성질 ==
+* 하우스도르프 공간에서 [[수열의 극한|수렴하는 점열]]의 극한값은 유일하다.
+하우스도르프 공간 ''X''에서 수렴하는 점열 <math>(x_n)</math>의 서로 다른 극한값이 <math>a,b</math>라고 가정하자. 그러면 하우스도르프 공간의 정의에 의해 [[서로소]]인 <math>O_a,O_b\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in O_a , b\in O_b</math>이다. 그리고 <math>(x_n)</math>이 수렴하므로 <math>N_a,N_b\in\mathbb{N}</math>이 존재하여 임의의 자연수 <math>n > N_a , n > N_b </math>에 대해 <math>x_n \in O_a , x_n \in O_b</math>이므로 <math>n > \max\{N_a,N_b\}</math>에 대해 <math>x_n \in O_a \cap O_b</math>이다. 그런데 <math>O_a, O_b</math>가 서로소이므로 <math>O_a \cap O_b = \emptyset</math>이고, 원소가 [[공집합]]에 포함된다는 것은 [[모순]]이다. 따라서 <math>(x_n)</math>의 극한값이 둘 이상일 수는 없다.
 [[분류:위상수학]]