푸리에 급수: 두 판 사이의 차이

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{{학술}}
[[함수]] <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math><math>[a,b]</math>에서 [[적분가능]]하고 <math>b-a=L</math>이라고 하자. 이때
{{토막글}}
== 정의 ==
[[함수 (수학)|함수]] \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\)\([a,b]\)에서 [[적분가능]]하고 \(b-a=L\)이라고 하자. 이때
: <math>\hat{f}(n)=\frac{1}{L}\int_a^b f(x)\exp\left(-\frac{2\pi inx}{L}\right)dx</math>
: <math>\hat{f}(n)=\frac{1}{L}\int_a^b f(x)\exp\left(-\frac{2\pi inx}{L}\right)dx</math>
\(f\)의 n번째 '''푸리에 계수(Fourier coefficient)'''라고 하고
<math>f</math>의 n번째 '''푸리에 계수(Fourier coefficient)'''라고 하고
: <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\exp\left(\frac{2\pi inx}{L}\right)</math>
: <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\exp\left(\frac{2\pi inx}{L}\right)</math>
\(f\)의 '''푸리에 급수(Fourier series)'''라고 한다.
<math>f</math>의 '''푸리에 급수(Fourier series)'''라고 한다.


== 예시 ==
== 예시 ==
\(f:[-\pi, \pi]\to \mathbb{R}\)\(f(x)=x\)로 정의되었다고 하자. 그러면
<math>f:[-\pi, \pi]\to \mathbb{R}</math><math>f(x)=x</math>로 정의되었다고 하자. 그러면
: <math>\hat{f}(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0</math>
: <math>\hat{f}(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0</math>
이고 \(n\ne 0\)일 때
이고 <math>n\ne 0</math>일 때
: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
\hat{f}(n)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} xe^{-inx}dx\\
\hat{f}(n)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} xe^{-inx}dx\\
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&=\frac{(-1)^{n+1}}{in}
&=\frac{(-1)^{n+1}}{in}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
이므로 \(f\)의 푸리에 급수는
이므로 <math>f</math>의 푸리에 급수는
: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
\sum_{n\ne 0}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n+1}}{in}e^{-inx}\\
\sum_{n\ne 0}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n+1}}{in}e^{-inx}\\
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어떤 주기함수 <math>f(t) = f(t+nT)</math> (n은 정수, T는 함수의 주기) 가 있다고 하자, 푸리에 정리에 의해서 모든 주기함수는 사인과 코사인 함수의 합으로 표현가능하다.
어떤 주기함수 <math>f(t) = f(t+nT)</math> (n은 정수, T는 함수의 주기) 가 있다고 하자, 푸리에 정리에 의해서 모든 주기함수는 사인과 코사인 함수의 합으로 표현가능하다.


이걸 수식으로 쓰면 <math>f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos (n{\omega_o}t) + b_n \sin (n{\omega_o}t))</math><br>
이걸 수식으로 쓰면 <math>f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos (n{\omega_o}t) + b_n \sin (n{\omega_o}t))</math>이다. (단, <math>\omega_o </math>는 각주파수 <math>2\pi f</math>)
이다. (단, <math>\omega_o </math>는 각주파수 <math>2\pi f</math>)
 
단, 푸리에 급수로 표현하기 위해서는 모든 시간 t에 대해서 <math>\int_{t}^{t+T} |f(t)|dt < \infty </math> 이어야 한다.


단, 푸리에 급수로 표현하기 위해서는 모든 시간 t에 대해서 <math>\int_{t}^{t+T} |f(t)|dt < \infty </math> 이어야 한다.
* a<sub>0</sub> 구하기
* a<sub>0</sub> 구하기
<math>a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt</math>이다. 한 주기의 평균값이다.  
<math>a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt</math>이다. 한 주기의 평균값이다.


----
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<math>f(t)</math>에 <math>\cos (n{\omega_o}t)</math>를 곱한 다음 1주기 적분을 한다. 사인/코사인 함수에는 뭘 붙이던지 1주기 적분을 하면 그 값은 0이 된다.
<math>f(t)</math>에 <math>\cos (n{\omega_o}t)</math>를 곱한 다음 1주기 적분을 한다. 사인/코사인 함수에는 뭘 붙이던지 1주기 적분을 하면 그 값은 0이 된다.


<math>\int_{0}^{T} f(t)\cos (n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0\cos (n{\omega_o}t)dt} + \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}(a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin (n{\omega_o}t)\cos (n{\omega_o}t)dt)} </math>
<math>\int_{0}^{T} f(t)\cos (n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0\cos (n{\omega_o}t)dt} + \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin (n{\omega_o}t)\cos (n{\omega_o}t)dt} </math>


<math>= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt</math>
<math>= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt</math>


그리고, <br>
그리고, <br />
<math>\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt =\int_{0}^{T}a_n\frac{1+\cos(2n\omega_0t)}{2} = a_n\frac{T}{2}</math>
<math>\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt =\int_{0}^{T}a_n\frac{1+\cos(2n\omega_0t)}{2} = a_n\frac{T}{2}</math>
이므로,
이므로,
<math>a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n{\omega_o}t)dt </math> 이다.
<math>a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n{\omega_o}t)dt </math> 이다.


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<math> = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)</math>
<math> = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)</math>


그리고, <br>
그리고, <br />
<math>\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)dt = \int_{0}^{T}b_n \frac{1-\cos(2n{\omega_o}t)}{2}dt = b_n\frac{T}{2}</math>이므로,  
<math>\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)dt = \int_{0}^{T}b_n \frac{1-\cos(2n{\omega_o}t)}{2}dt = b_n\frac{T}{2}</math>이므로,
 
<math>b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt </math> 이다.
<math>b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt </math> 이다.
=== 예시 ===
=== 예시 ===
각주파수<math>\omega_0 </math>는 <math>\frac{2\pi}{T}</math>이고,  <math>\frac{1}{\omega_0} = \frac{1}{2\pi f} = \frac{T}{2\pi}</math>이다, <s>자주 쓰이니 기억하자</s>
==== 구형파 (사각파)====
==== 구형파 (사각파)====
진폭이 A이고 주기가 T인 구형파는 <math>f(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1}</math>이다.  
진폭이 A이고 주기가 T인 구형파는 <math>f(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1}</math>이다.


===== 증명 =====
===== 증명 =====
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<math>= \frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{T/2}  -\frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{T/2}^{T}</math>  
<math>= \frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{T/2}  -\frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{T/2}^{T}</math>  


그런데, <math>\omega_0 = \frac{2\pi}{T}, \frac{1}{\omega_0} = \frac{1}{2\pi f} = \frac{T}{2\pi}</math>이므로, <s>자주 쓰이니 기억하자</s>
 


<math>= \frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2}  -\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T} = \frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T} t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2}  -\frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T}t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T}</math>
<math>= \frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2}  -\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T} = \frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T} t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2}  -\frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T}t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T}</math>
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<math>= -\frac{A}{n\pi}(\cos n\pi - \cos(0)) + \frac{A}{n\pi}(\cos2n\pi - \cos n\pi)</math>
<math>= -\frac{A}{n\pi}(\cos n\pi - \cos(0)) + \frac{A}{n\pi}(\cos2n\pi - \cos n\pi)</math>


그런데, <math>\cos2n\pi=1</math>이고, <math>\cos n\pi=(-1)^n</math>이다. 그러면 <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}(1-(-1)^n)</math>이 성립한다.  
그런데, <math>\cos2n\pi=1</math>이고, <math>\cos n\pi=(-1)^n</math>이다. 그러면 <math>b_n=\frac{2A}{n\pi}(1-(-1)^n)</math>이 성립한다.


그러므로, <math>b_n=
그러므로, <math>b_n=
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그러면 <math>f(t) = \require{cancel}\cancelto{0}{a_0} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos (n{\omega_o}t)} + \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1} </math> 이다.
그러면 <math>f(t) = \require{cancel}\cancelto{0}{a_0} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos (n{\omega_o}t)} + \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1} </math> 이다.
<math></math>
<math></math>
==== 톱니파 ====
sawtooth wave
<math>f(t) = \frac{A}{T}t \quad (0 < t < T)</math>
<math>f(t) = \frac{A}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A}{n\pi} \sin n\omega_0 t</math>
===== 증명 =====
<math>a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\frac{A}{T}t dt = \frac{A}{T^2}\frac{t^2}{2}\bigg\vert_{0}^{T} = \frac{A}{2} </math>
----
<math>a_n  = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{A}{T}t\cos(n\omega_0 t) dt = \frac{2A}{T^2}\int_{0}^{T}t\cos(n\omega_0 t) dt</math>
<math>=\frac{2A}{T^2} \left( \frac{t\sin n\omega_0 t}{n\omega_0}+\frac{\cos n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2} \right) \bigg\vert_{0}^{T} = \frac{2A}{T^2} \left( \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{T \sin 2n\pi}{\frac{2n\pi}{T}}}-0 \right)+ \left( \require{cancel}\cancelto{1}{\frac{\cos 2n\pi}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} - \require{cancel}\cancelto{1}{\frac{\cos (0)}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} \right)  \right) = 0</math>
그러므로 <math>a_n  = 0 </math>
----
<math>b_n  = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{A}{T}t\sin(n\omega_0 t) dt = \frac{2A}{T^2}\int_{0}^{T}t\sin(n\omega_0 t) dt</math>
<math>=\frac{2A}{T^2} \left( -\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0}+\frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2} \right) \bigg\vert_{0}^{T} = \frac{2A}{T^2} \left( \left( -\frac{T^2 \cos 2n\pi}{2n\pi}+0 \right)+ \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{\sin 2n\pi}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{\sin (0)}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} \right)  \right) = -\frac{A}{n\pi}</math>
그러므로 <math>b_n  = -\frac{A}{n\pi} </math>
----
그러므로 <math>f(t) = \frac{A}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A}{n\pi} \sin n\omega_0 t</math> 성립.
<math></math>
<math></math>
<math></math>
<math></math>
==== 사각 펄스 트레인 ====
rectangular pulse train
진폭이 A, 펄스폭이 <math>\tau</math>이고 주기가 T인 사각 펄스 트레인은 <math>f(t) = \frac{A\tau}{T}+\frac{2A}{n\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sin (\frac{n\pi \tau}{T}) \cos(n\omega_0 t)</math>
===== 증명 =====
<math>f(t)=
\begin{cases}
A, & (0< t < \frac{\tau}{2}) \\
0, & (\frac{\tau}{2}< t < T-\frac{\tau}{2} )\\
A, & (T-\frac{\tau}{2}< t < T)
\end{cases}</math>
----
<math>a_0=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{1}{T} \left( \int_{0}^{\tau/2} A dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\int_{\tau/2}^{T-\tau/2} 0 dt} + \int_{T-\tau/2}^{T} A dt \right)  = \frac{1}{T}(\frac{A\tau}{2} + At\bigg\vert_{T}^{T-\frac{\tau}{2}}) = \frac{A\tau}{T}</math>
----
<math>a_n=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos (n\omega_0 t) dt</math>
<math>= \frac{2}{T} \left (\int_{0}^{\tau/2} A \cos (n\omega_0 t) dt + \int_{T- \tau/2}^{T} A\cos (n\omega_0 t) dt \right)  </math>
<math>=\frac{2}{T} \left( A\frac{\sin \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{\tau/2} + A\frac{\sin \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{T-\tau/2}^{T} \right)</math>
<math>=\frac{2}{T} \left( A\frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} - \require{cancel}\cancelto{0}{A\frac{\sin 0}{n\omega_0}} +\require{cancel}\cancelto{0}{A\frac{\sin 2n\pi}{n\omega_0}} - A\frac{\sin \frac{2n\pi}{T} (T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0}  \right)</math>
<math>=\frac{2}{T} \left( A\frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} - A\frac{- \frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} \right) = \frac{2A}{T} \frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} = \frac{2A}{n\pi} \sin \frac{n\pi \tau}{T} ,  \quad(\omega_0 = \frac{2\pi}{T})</math>
----
<math>b_n=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin (n\omega_0 t) dt</math>
<math>= \frac{2}{T} \left (\int_{0}^{\tau/2} A \sin (n\omega_0 t) dt + \int_{T- \tau/2}^{T} A\sin (n\omega_0 t) dt \right)  </math>
<math>=\frac{2}{T} \left( -A\frac{\cos \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{\tau/2} + -A\frac{\cos \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{T-\tau/2}^{T} \right)</math>
<math> = \frac{2}{T} \left( -\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T} \frac{\tau}{2} }{n\omega_0} \require{cancel}\cancelto{0}{-(-\frac{A\cos(0)}{n\omega_0}) + (-\frac{A\cos 2n\pi}{n\omega_0})}  - (-\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T}(T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0})  \right)</math>
<math> = \frac{2}{T} \left( \require{cancel}\cancelto{0}{-\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T} \frac{\tau}{2} }{n\omega_0} + \frac{A\cos \frac{2n\pi}{T}(T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0})}  \right) =0</math>
----
그러므로 <math>f(t) = \frac{A\tau}{T}+\frac{2A}{n\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sin (\frac{n\pi \tau}{T}) \cos(n\omega_0 t)</math> 성립.


== 같이 보기 ==
== 같이 보기 ==
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== 참고 문헌 ==
== 참고 문헌 ==
* Stein, E., & Shakarchi, R. (2003). ''Fourier analysis an introduction''. Princeton: Princeton University Press. ISBN 069111384X
* Stein, E., & Shakarchi, R. (2003). ''Fourier analysis an introduction''. Princeton: Princeton University Press. {{ISBN|069111384X}}


[[분류:수학]]
[[분류:급수]]

2021년 10월 3일 (일) 23:06 기준 최신판

함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to \mathbb{R} }[/math][math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 적분가능하고 [math]\displaystyle{ b-a=L }[/math]이라고 하자. 이때

[math]\displaystyle{ \hat{f}(n)=\frac{1}{L}\int_a^b f(x)\exp\left(-\frac{2\pi inx}{L}\right)dx }[/math]

[math]\displaystyle{ f }[/math]의 n번째 푸리에 계수(Fourier coefficient)라고 하고

[math]\displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)\exp\left(\frac{2\pi inx}{L}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ f }[/math]푸리에 급수(Fourier series)라고 한다.

예시[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ f:[-\pi, \pi]\to \mathbb{R} }[/math][math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math]로 정의되었다고 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ \hat{f}(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0 }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ n\ne 0 }[/math]일 때

[math]\displaystyle{ \begin{align} \hat{f}(n)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} xe^{-inx}dx\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\left[-\frac{1}{in}xe^{-inx}\right]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{in}e^{-inx}dx\right)\\ &=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{2\pi(-1)^{n+1}}{in}+\left[\frac{1}{n^2} e^{inx}\right]_{-\pi}^{\pi}\right)\\ &=\frac{(-1)^{n+1}}{in} \end{align} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 푸리에 급수는

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{n\ne 0}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{in}e^{inx}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{-n+1}}{in}e^{-inx}\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}2\frac{(-1)^{n+1}}{n}\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\\ &=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sin nx}{n} \end{align} }[/math]

이다.

삼각 푸리에 급수[편집 | 원본 편집]

Trigonometric Fourier Series

어떤 주기함수 [math]\displaystyle{ f(t) = f(t+nT) }[/math] (n은 정수, T는 함수의 주기) 가 있다고 하자, 푸리에 정리에 의해서 모든 주기함수는 사인과 코사인 함수의 합으로 표현가능하다.

이걸 수식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos (n{\omega_o}t) + b_n \sin (n{\omega_o}t)) }[/math]이다. (단, [math]\displaystyle{ \omega_o }[/math]는 각주파수 [math]\displaystyle{ 2\pi f }[/math])

단, 푸리에 급수로 표현하기 위해서는 모든 시간 t에 대해서 [math]\displaystyle{ \int_{t}^{t+T} |f(t)|dt \lt \infty }[/math] 이어야 한다.

  • a0 구하기

[math]\displaystyle{ a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt }[/math]이다. 한 주기의 평균값이다.


  • an 구하기

[math]\displaystyle{ f(t) }[/math][math]\displaystyle{ \cos (n{\omega_o}t) }[/math]를 곱한 다음 1주기 적분을 한다. 사인/코사인 함수에는 뭘 붙이던지 1주기 적분을 하면 그 값은 0이 된다.

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T} f(t)\cos (n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0\cos (n{\omega_o}t)dt} + \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin (n{\omega_o}t)\cos (n{\omega_o}t)dt} }[/math]

[math]\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt }[/math]

그리고,
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T}a_n \cos^2 (n{\omega_o}t)dt =\int_{0}^{T}a_n\frac{1+\cos(2n\omega_0t)}{2} = a_n\frac{T}{2} }[/math] 이므로, [math]\displaystyle{ a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos(n{\omega_o}t)dt }[/math] 이다.


  • bn 구하기

[math]\displaystyle{ f(t) }[/math][math]\displaystyle{ \sin (n{\omega_o}t) }[/math]를 곱한 다음 1주기 적분을 한다.

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T} f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt =\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{0}^{T} a_0 \sin(n{\omega_o}t)dt} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}a_n \sin(n{\omega_o}t)\cos(n{\omega_o}t)dt }+ \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t) }[/math]

[math]\displaystyle{ = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t) }[/math]

그리고,
[math]\displaystyle{ \int_{0}^{T}b_n \sin^2 (n{\omega_o}t)dt = \int_{0}^{T}b_n \frac{1-\cos(2n{\omega_o}t)}{2}dt = b_n\frac{T}{2} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin(n{\omega_o}t)dt }[/math] 이다.

예시[편집 | 원본 편집]

각주파수[math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math][math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{T} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \frac{1}{\omega_0} = \frac{1}{2\pi f} = \frac{T}{2\pi} }[/math]이다, 자주 쓰이니 기억하자

구형파 (사각파)[편집 | 원본 편집]

진폭이 A이고 주기가 T인 구형파는 [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1} }[/math]이다.

증명[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ f(t)= \begin{cases} A & 0 \lt t \lt \frac{T}{2} \\ -A & \frac{T}{2} \lt t \lt T \end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt }[/math] 이므로

[math]\displaystyle{ \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T/2} A dt +\frac{1}{T}\int_{T/2}^{T} -A dt = \frac{At}{T} \bigg\vert_{0}^{T/2} + \frac{-At}{T} \bigg\vert_{T/2}^{T} = (\frac{A}{2} - 0) + (-A + \frac{A}{2}) = 0 }[/math]

그러므로 [math]\displaystyle{ a_0 = 0 }[/math]


[math]\displaystyle{ a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\cos(n\omega_0 t)dt = \frac{2}{T}\int_{0}^{T/2} A\cos(n\omega_0 t)dt + \frac{2}{T}\int_{T/2}^{T} -A\cos(n\omega_0 t)dt }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{T/2} -\frac{2}{T}\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{T/2}^{T} }[/math]


[math]\displaystyle{ = \frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2} -\frac{A\sin(n\omega_0 t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T} = \frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T} t)}{n\pi}\bigg\vert_{0}^{T/2} -\frac{A\sin(\frac{2n\pi}{T}t)}{n\pi}\bigg\vert_{T/2}^{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(n\pi)}{n\pi}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(0)}{n\pi}}\right) - \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(2n\pi)}{n\pi}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{A\sin(n\pi)}{n\pi}} \right) = 0 }[/math] 이다.


[math]\displaystyle{ b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(t)\sin(n\omega_0 t)dt = \frac{2}{T}\int_{0}^{T/2} A\sin(n\omega_0 t)dt + \frac{2}{T}\int_{T/2}^{T} -A\sin(n\omega_0 t)dt }[/math]

[math]\displaystyle{ = -\frac{2}{T}\frac{A\cos(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{T/2} + \frac{2}{T}\frac{A\cos(n\omega_0 t)}{n\omega_0}\bigg\vert_{T/2}^{T} = -\frac{A}{n\pi}\cos\frac{2n\pi}{T}t\bigg\vert_{0}^{T/2} + \frac{A}{n\pi}\cos\frac{2n\pi}{T}t\bigg\vert_{T/2}^{T} }[/math]

[math]\displaystyle{ = -\frac{A}{n\pi}(\cos n\pi - \cos(0)) + \frac{A}{n\pi}(\cos2n\pi - \cos n\pi) }[/math]

그런데, [math]\displaystyle{ \cos2n\pi=1 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \cos n\pi=(-1)^n }[/math]이다. 그러면 [math]\displaystyle{ b_n=\frac{2A}{n\pi}(1-(-1)^n) }[/math]이 성립한다.

그러므로, [math]\displaystyle{ b_n= \begin{cases} \frac{4A}{n\pi} & n=2k-1 \\ 0 & n=2k \end{cases} }[/math] (단, k는 정수) 가 성립한다.

그러면 [math]\displaystyle{ f(t) = \require{cancel}\cancelto{0}{a_0} + \require{cancel}\cancelto{0}{\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos (n{\omega_o}t)} + \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\omega_0 t)}{2n-1} }[/math] 이다. [math]\displaystyle{ }[/math]

톱니파[편집 | 원본 편집]

sawtooth wave [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A}{T}t \quad (0 \lt t \lt T) }[/math]

[math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A}{n\pi} \sin n\omega_0 t }[/math]

증명[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\frac{A}{T}t dt = \frac{A}{T^2}\frac{t^2}{2}\bigg\vert_{0}^{T} = \frac{A}{2} }[/math]


[math]\displaystyle{ a_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{A}{T}t\cos(n\omega_0 t) dt = \frac{2A}{T^2}\int_{0}^{T}t\cos(n\omega_0 t) dt }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{2A}{T^2} \left( \frac{t\sin n\omega_0 t}{n\omega_0}+\frac{\cos n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2} \right) \bigg\vert_{0}^{T} = \frac{2A}{T^2} \left( \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{T \sin 2n\pi}{\frac{2n\pi}{T}}}-0 \right)+ \left( \require{cancel}\cancelto{1}{\frac{\cos 2n\pi}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} - \require{cancel}\cancelto{1}{\frac{\cos (0)}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} \right) \right) = 0 }[/math]

그러므로 [math]\displaystyle{ a_n = 0 }[/math]


[math]\displaystyle{ b_n = \frac{2}{T}\int_{0}^{T}\frac{A}{T}t\sin(n\omega_0 t) dt = \frac{2A}{T^2}\int_{0}^{T}t\sin(n\omega_0 t) dt }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{2A}{T^2} \left( -\frac{t\cos n\omega_0 t}{n\omega_0}+\frac{\sin n\omega_0 t}{(n\omega_0)^2} \right) \bigg\vert_{0}^{T} = \frac{2A}{T^2} \left( \left( -\frac{T^2 \cos 2n\pi}{2n\pi}+0 \right)+ \left( \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{\sin 2n\pi}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} - \require{cancel}\cancelto{0}{\frac{\sin (0)}{(\frac{2n\pi}{T})^2}} \right) \right) = -\frac{A}{n\pi} }[/math]

그러므로 [math]\displaystyle{ b_n = -\frac{A}{n\pi} }[/math]


그러므로 [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{A}{n\pi} \sin n\omega_0 t }[/math] 성립. [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

사각 펄스 트레인[편집 | 원본 편집]

rectangular pulse train

진폭이 A, 펄스폭이 [math]\displaystyle{ \tau }[/math]이고 주기가 T인 사각 펄스 트레인은 [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A\tau}{T}+\frac{2A}{n\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sin (\frac{n\pi \tau}{T}) \cos(n\omega_0 t) }[/math]

증명[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ f(t)= \begin{cases} A, & (0\lt t \lt \frac{\tau}{2}) \\ 0, & (\frac{\tau}{2}\lt t \lt T-\frac{\tau}{2} )\\ A, & (T-\frac{\tau}{2}\lt t \lt T) \end{cases} }[/math]


[math]\displaystyle{ a_0=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{1}{T} \left( \int_{0}^{\tau/2} A dt + \require{cancel}\cancelto{0}{\int_{\tau/2}^{T-\tau/2} 0 dt} + \int_{T-\tau/2}^{T} A dt \right) = \frac{1}{T}(\frac{A\tau}{2} + At\bigg\vert_{T}^{T-\frac{\tau}{2}}) = \frac{A\tau}{T} }[/math]


[math]\displaystyle{ a_n=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\cos (n\omega_0 t) dt }[/math] [math]\displaystyle{ = \frac{2}{T} \left (\int_{0}^{\tau/2} A \cos (n\omega_0 t) dt + \int_{T- \tau/2}^{T} A\cos (n\omega_0 t) dt \right) }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{2}{T} \left( A\frac{\sin \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{\tau/2} + A\frac{\sin \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{T-\tau/2}^{T} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{2}{T} \left( A\frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} - \require{cancel}\cancelto{0}{A\frac{\sin 0}{n\omega_0}} +\require{cancel}\cancelto{0}{A\frac{\sin 2n\pi}{n\omega_0}} - A\frac{\sin \frac{2n\pi}{T} (T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{2}{T} \left( A\frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} - A\frac{- \frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} \right) = \frac{2A}{T} \frac{\frac{\sin n\pi \tau}{T}}{n\omega_0} = \frac{2A}{n\pi} \sin \frac{n\pi \tau}{T} , \quad(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}) }[/math]


[math]\displaystyle{ b_n=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t)\sin (n\omega_0 t) dt }[/math] [math]\displaystyle{ = \frac{2}{T} \left (\int_{0}^{\tau/2} A \sin (n\omega_0 t) dt + \int_{T- \tau/2}^{T} A\sin (n\omega_0 t) dt \right) }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{2}{T} \left( -A\frac{\cos \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{0}^{\tau/2} + -A\frac{\cos \omega_0 t}{n\omega_0}\bigg\vert_{T-\tau/2}^{T} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{2}{T} \left( -\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T} \frac{\tau}{2} }{n\omega_0} \require{cancel}\cancelto{0}{-(-\frac{A\cos(0)}{n\omega_0}) + (-\frac{A\cos 2n\pi}{n\omega_0})} - (-\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T}(T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0}) \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{2}{T} \left( \require{cancel}\cancelto{0}{-\frac{A\cos \frac{2n\pi}{T} \frac{\tau}{2} }{n\omega_0} + \frac{A\cos \frac{2n\pi}{T}(T-\frac{\tau}{2})}{n\omega_0})} \right) =0 }[/math]


그러므로 [math]\displaystyle{ f(t) = \frac{A\tau}{T}+\frac{2A}{n\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sin (\frac{n\pi \tau}{T}) \cos(n\omega_0 t) }[/math] 성립.

같이 보기[편집 | 원본 편집]

참고 문헌[편집 | 원본 편집]

  • Stein, E., & Shakarchi, R. (2003). Fourier analysis an introduction. Princeton: Princeton University Press. ISBN 069111384X