페르마의 정리

Fermat's theorem

페르마의 정리엔 소정리와 대정리(또는 마지막 정리) 두 가지가 있다.

페르마의 소정리

밑에 있는 대정리에 기가 눌려서 그렇지 이쪽도 나름 유명한 정리이다. 1640년에 처음으로 발표되었다. 근데 증명을 안 해 놓은 건 똑같다. 아니 이 사람의 성격상 정리 해 놓고 공개 안 한 걸지도 모른다 카더라. 원고 형식의 증명은 1683년경 빌헬름 라이프니츠에 의해서, 출판 형식의 증명은 1736년 레온하르트 오일러에 의해서 증명되었다.

정리의 내용은 다음과 같다.

소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 양의 정수 [math]\displaystyle{ a }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (a, p)=1 }[/math] 이면 [math]\displaystyle{ a^{p-1}\equiv 1( \operatorname{mod } p) }[/math]

페르마의 마지막 정리

수학자 페이드 드 페르마의 정리. "3 이상 지수의 거듭제곱수는 같은 지수의 두 거듭제곱수의 합으로 나타낼 수 없다"는 정리다. 즉, a,b,c가 양의 정수이고, n이 3 이상의 정수일 때, 항상 [math]\displaystyle{ a^n +b^n \neq c^n }[/math]이다.

하지만 페르마는 이 공식보다 더 유명한 주석을 남겼으니…

“	임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없고, 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없으며, 일반적으로 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.	“
— 디오판토스의 《산법》(1621)의 여백

8번 문제 밑에 Observatio domini Petri di Fermat로 달려 있는 주석. 만악의 근원

본 편집자는 페르마의 정리를 경이로운 방법으로 서술하였으나, 항목의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.

1995년 앤드루 와일즈 교수에 의해 400년 만에증명되었다.풀이 과정이 다른 의미로 경이롭다

역사

[math]\displaystyle{ n=4 }[/math]일 때의 증명

페르마 자신은 [math]\displaystyle{ n=4 }[/math]에 대한 증명을 내놓았다. [math]\displaystyle{ x^4+y^4=z^4 }[/math]을 만족하는 정수해가 없음을 증명하려 페르마는 정수해가 있다는 가정을 한 후 여기서 생기는 논리적 모순을 찾았다. 개략적으로 설명하면, [math]\displaystyle{ x^4+y^4=z^4 }[/math]을 만족하는 정수가 있다 가정했으니 그 정수해를 [math]\displaystyle{ x=X_1, y=Y_1, z=Z_1 }[/math]로 놓는다. 이 세개의 정수해, 즉 [math]\displaystyle{ X_1, Y_1, Z_1 }[/math]의 성질을 잘 살펴보면 기존의 방정식을 만족하면서 이보다 작은 값을 갖는 또다른 정수해, 즉 [math]\displaystyle{ X_2, Y_2, Z_2 }[/math]가 반드시 존재해야 함을 증명할 수 있다. 이에 대한 자세한 수학적 과정은 따분할 수 있으므로 생략하자 또 새로 얻은 정수해에 같은 논리를 적용하면 이보다 작은 정수해, 즉 [math]\displaystyle{ X_3, Y_3, Z_3 }[/math]이 또 존재해야 하며 이는 수없이 반복된다.

이 과정은 이론상 무한히 반복될 수 있으므로 무한히 작은 정수해를 구할 수 있다는 결론이 내려진다. 하지만 [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math]는 정수이다. 무한히 작은 정수가 존재할 수 없다. 그러니 이 반복과정은 언젠가 끝나야 한다. 근데 이 논리의 결과는 이 과정이 무한히 반복될 수 있다 했으니 이는 모순이다. 모순이 나온 이유는 단 한가지. 바로 [math]\displaystyle{ x^4+y^4=z^4 }[/math]를 만족하는 정수해, 즉 [math]\displaystyle{ X_1, Y_1, Z_1 }[/math]는 존재하지 않는다는 것이다. 이렇게 페르마는 [math]\displaystyle{ n=4 }[/math]일 때 정수해가 존재하지 않는다는 것을 증명했다. 하지만 페르마는 분명히 3 이상의 모든 [math]\displaystyle{ n }[/math]값에 대해 증명을 했다 주장했다. 여백이 부족하다며

오일러의 [math]\displaystyle{ n=3 }[/math]일 때의 증명

페르마는 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 3 이상일 때 성립하지 않는다 했으므로 오일러는 [math]\displaystyle{ n=3 }[/math]일 때의 증명을 먼저 증명하려 했다. 페르마가 증명한 [math]\displaystyle{ n=4 }[/math]일 때의 경우를 [math]\displaystyle{ n=3 }[/math]인 경우에 적용시키기 위해 오일러는 허수라는 개념을 사용했다. 오일러 이전에 다른 [math]\displaystyle{ n }[/math]값의 증명을 [math]\displaystyle{ n=4 }[/math]일 때 페르마가 사용한 무한 반복성 귀류법으로 해결해보려 했지만 [math]\displaystyle{ n=4 }[/math]때는 전혀 나타나지 않은 논리적인 모순이 생겼다. 그런데 오일러는 허수 [math]\displaystyle{ i }[/math]를 사용해 논리적 허점을 보완함에 성공했고 무한 반복성 귀류법으로 [math]\displaystyle{ n=3 }[/math]의 경우의 증명을 해냈다. 하지만 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 5 이상인 경우에는 이것도 전혀 먹혀들지 못했다.

프레이의 타원곡선

Frey는 페르마의 마지막 정리가 거짓이라면 [math]\displaystyle{ y^2=x(x-a^p)(x+b^p) }[/math]라는 타원곡선이 "모듈러리티 가설"을 위반할 것이라는 추측을 내놓는다. 이 추측은 켄 리벳에 의해 완전히 증명되게 된다. 따라서 결과적으로 대우명제를 고려해보면, 모듈러리티 가설을 증명하는 것 만으로 페르마의 마지막 정리가 증명되는 것을 알게 된다.

앤드류 와일즈

앤드류 와일즈는 semistable 타원곡선에 대해 모듈러리티 가설을 증명하여 페르마의 마지막 정리를 증명한다.

유사 사례

인터넷 상에서 자주 사용되는 것으로 "더 이상의 자세한 설명은 생략한다"가 있다? 우와아앙?