카이제곱분포(Chi-squared distribution)는 정규분포를 이용한 새로운 확률분포다.
정의
확률변수 [math]\displaystyle{ Z_1,Z_2,\cdots,Z_n }[/math]이 독립이고 표준정규분포를 따른다고 하자. 확률변수
- [math]\displaystyle{ Y=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_n^2 }[/math]
를 자유도 n인 카이제곱분포라고 한다. 이때, [math]\displaystyle{ Y\sim \chi_n^2 }[/math]로 표기한다.
성질
확률밀도함수
표준정규분포를 따르는 확률변수 Z에 대해 [math]\displaystyle{ Z^2\sim \Gamma\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right) }[/math]이므로, 표준정규분포를 따르는 독립인 확률변수 [math]\displaystyle{ Z_1,Z_2,\cdots,Z_n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ Y=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_n^2 }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ Y\sim \Gamma\left(\dfrac{n}{2},\dfrac{1}{2}\right) }[/math]이다. 따라서
- [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{(n/2)-1}e^{-(x/2)} }[/math] (x>0)
을 얻는다.
같이 보기
외부 링크
- Weisstein, Eric W. "Chi-Squared Distribution." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.